В аддитивной теории чисел , Ферма теорема «секунде на сумму двух состояний квадратов , что нечетное простое число р может быть выражена следующим образом:
с целыми числами x и y , если и только если
Простые числа, для которых это верно, называются простыми числами Пифагора . Например, простые числа 5, 13, 17, 29, 37 и 41 все сравнимы с 1 по модулю 4, и их можно выразить как суммы двух квадратов следующими способами:
С другой стороны, простые числа 3, 7, 11, 19, 23 и 31 все сравнимы с 3 по модулю 4, и ни одно из них не может быть выражено как сумма двух квадратов. Это наиболее легкая часть теоремы, и она сразу следует из наблюдения, что все квадраты сравнимы с 0 или 1 по модулю 4.
Поскольку тождество Диофанта подразумевает, что произведение двух целых чисел, каждое из которых может быть записано как сумма двух квадратов, само выражается как сумма двух квадратов, применяя теорему Ферма к факторизации на простые множители любого положительного целого числа n , мы видим, что если все простые множители числа n, сравнимые с 3 по модулю 4, дают четный показатель степени, то n выражается как сумма двух квадратов. Верно и обратное. [1] Это обобщение теоремы Ферма известно как теорема о сумме двух квадратов .
История
Альберт Жирар был первым, кто сделал наблюдение, описав все положительные целые числа (не обязательно простые), выражаемые как сумма двух квадратов положительных целых чисел; это было опубликовано в 1625 году. [2] [3] Утверждение, что каждое простое число p вида 4n + 1 является суммой двух квадратов, иногда называют теоремой Жирара . [4] Со своей стороны, Ферма написал подробный вариант утверждения (в котором он также дал количество возможных выражений степеней p как сумму двух квадратов) в письме Марину Мерсенну от 25 декабря 1640 года: по этой причине эту версию теоремы иногда называют рождественской теоремой Ферма.
Доказательства теоремы Ферма о суммах двух квадратов
Ферма обычно не записывал доказательства своих утверждений и не предоставлял доказательств этого утверждения. Первое доказательство было найдено Эйлером после больших усилий и основано на бесконечном спуске . Он объявил об этом в двух письмах Гольдбаху 6 мая 1747 г. и 12 апреля 1749 г .; он опубликовал подробное доказательство в двух статьях (между 1752 и 1755 годами). [5] [6] Лагранж дал доказательство в 1775 году, основанное на его исследовании квадратичных форм . Это доказательство было упрощено Гауссом в его Disquisitiones Arithmeticae (статья 182). Дедекинд дал по крайней мере два доказательства, основанных на арифметике целых гауссовских чисел . Существует элегантное доказательство, использующее теорему Минковского о выпуклых множествах. Упрощая более раннее короткое доказательство Хита-Брауна (вдохновленного идеей Лиувилля ), Загьер представил неконструктивное доказательство с одним предложением в 1990 году. [7] А недавно Кристофер дал теоретическое доказательство. [8]
Алгоритм
Вагон представил алгоритм для вычисления таких разложений в 1990 году, основанный на работе Серре и Эрмита (1848 г.) и Корнаккиа (1908 г.). [9]
Связанные результаты
Ферма объявил о двух связанных результатах четырнадцать лет спустя. В письме к Блезу Паскалю от 25 сентября 1654 г. он объявил следующие два результата для нечетных простых чисел::
Он также написал:
- Если два простых числа, которые заканчиваются на 3 или 7 и превосходят на 3 кратное 4, умножаются, то их произведение будет состоять из квадрата и пятерки другого квадрата.
Другими словами, если p, q имеют форму 20 k + 3 или 20 k + 7, то pq = x 2 + 5 y 2 . Позднее Эйлер расширил это до гипотезы о том, что
И утверждение Ферма, и гипотеза Эйлера были установлены Лагранжем.
Смотрите также
Заметки
- ^ Для доказательства обратного см., Например, 20.1, теоремы 367 и 368, в: GH Hardy and EM Wright. Введение в теорию чисел, Оксфорд, 1938.
- ^ Саймон Стевин . l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges , аннотированный Альбертом Жираром, Leyde 1625, стр. 622 .
- ^ LE Диксон, История теории чисел, Vol. II, гл. VI, стр. 227. «А. Жирар ... уже определил числа, выражаемые в виде суммы двух целых квадратов: каждого квадрата, каждого простого числа 4n + 1, произведения, образованного из таких чисел, и двойного числа вышеупомянутых».
- ^ LE Диксон, История теории чисел, Vol. II, гл. VI, стр. 228.
- ^ De numerus qui sunt aggregata quorum quadratorum. (Новые комментарии academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40)
- ^ Demonstratio Theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum. (Новые комментарии academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13)
- ^ Загир, D. (1990), "А одно предложение доказательство того, что каждый простой р ≡ 1 ( по модулю 4) является суммой два квадратов", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, DOI : 10,2307 / 2323918 , MR 1041893.
- ^ А. Дэвид Кристофер. "Теоретико-разбиение доказательства теоремы Ферма о двух квадратах", Дискретная математика 339 : 4: 1410–1411 (6 апреля 2016 г.) doi : 10.1016 / j.disc.2015.12.002
- ^ Вагон, Стэн (1990), " От редактора Корнер: алгоритм Евклида Strikes Again", American Mathematical Monthly , 97 (2): 125, DOI : 10,2307 / 2323912 , MR 1041889.
Рекомендации
- Л. Е. Диксон . История теории чисел Vol. 2. Chelsea Publishing Co., Нью-Йорк, 1920 год.
- Стиллвелл, Джон. Введение в теорию алгебраических целых чисел Ричарда Дедекинда. Библиотека Кембриджского университета, издательство Кембриджского университета 1996. ISBN 0-521-56518-9
- Д.А. Кокс (1989). Простые числа вида x 2 + ny 2 . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.