Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Число Пифагора» перенаправляется сюда. Об инварианте поля, относящемся к суммам квадратов, см. Число Пифагора .
Простое число Пифагора 5 и его квадратный корень являются гипотенусами прямоугольных треугольников с целыми катетами. Формулы показывают, как преобразовать любой прямоугольный треугольник с целыми катетами в другой прямоугольный треугольник с целыми катетами, гипотенуза которого является квадратом гипотенузы первого треугольника.

Пифагора простое это простое число вида 4 п  + 1 Пифагорейские простые числа являются в точности нечетные простые числа, являющиеся суммой двух квадратов; эта характеристика является теоремой Ферма о суммах двух квадратов .

Эквивалентно, по теореме Пифагора , они нечетные простые числа р , для которых √ р является длина гипотенузы в виде прямоугольного треугольника с целыми ногами, и они также являются простые числа р , для которых р само по себе является гипотенузой примитивный Треугольник Пифагора . Например, число 5 - простое число Пифагора; √ 5 - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, а сама 5 - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4.

Значения и плотность [ править ]

Первые несколько простых чисел Пифагора

5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , ... (последовательность A002144 в OEIS ).

По теореме Дирихле об арифметических прогрессиях эта последовательность бесконечна. Более того, для каждого n количество пифагоровых и непифагоровых простых чисел до n примерно равно. Однако количество простых пифагоровых чисел до n часто несколько меньше, чем число непифагоровых простых чисел; это явление известно как предвзятость Чебышева . [1] Например, единственными значениями от n до 600000, для которых больше пифагорейских, чем непифагоровых нечетных простых чисел, меньших или равных n, являются 26861 и 26862. [2]

Представление в виде суммы двух квадратов [ править ]

Сумма одного нечетного квадрата и одного четного квадрата конгруэнтна 1 по модулю 4, но существуют составные числа, такие как 21, которые равны 1 по модулю 4 и, тем не менее, не могут быть представлены в виде суммы двух квадратов. Теорема Ферма о суммах двух квадратов утверждает, что простые числа, которые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, равны точно 2, а нечетные простые числа сравнимы с 1 по модулю 4. [3] Представление каждого такого числа уникально с точностью до порядка. из двух квадратов. [4]

Используя теорему Пифагора , это представление можно интерпретировать геометрически: простые числа Пифагора - это в точности нечетные простые числа p, такие, что существует прямоугольный треугольник с целыми катетами, длина гипотенузы которого равна √ p . Они также являются в точности такими простыми числами p , что существует прямоугольный треугольник с целыми сторонами, гипотенуза которого имеет длину p . В самом деле, если треугольник с катетами x и y имеет длину гипотенузы √ p (с x  >  y ), то треугольник с катетами x 2 -  y 2 и 2 xy имеют длину гипотенузы  p . [5]

Другой способ понять это представление как сумму двух квадратов включает гауссовские целые числа , комплексные числа , действительная и мнимая части которых являются целыми числами. [6] Нормой гауссовского целого числа x  +  yi является число x 2  +  y 2 . Таким образом, простые числа Пифагора (и 2) встречаются как нормы целых гауссовских чисел, а другие простые числа - нет. В гауссовых целых числах простые числа Пифагора не считаются простыми числами, поскольку их можно разложить на множители как

p  = ( x  +  yi ) ( x  -  yi ).

Точно так же их квадраты могут быть разложены на множители иначе, чем их целочисленная факторизация , так как

p 2  = ( x  +  yi ) 2 ( x  -  yi ) 2 = ( x 2  -  y 2  + 2 xyi ) ( x 2  -  y 2  - 2 xyi ).

Действительная и мнимая части множителей в этих факторизациях представляют собой длины катетов прямоугольных треугольников, имеющих заданные гипотенузы.

Квадратичные вычеты [ править ]

Закон квадратичной взаимности гласит, что если p и q - различные нечетные простые числа, по крайней мере одно из которых является пифагоровым, то p является квадратичным вычетом по модулю q тогда и только тогда, когда q является квадратичным вычетом по модулю p ; в отличии от этого , если ни р , ни д является Пифагором, то р является квадратичным вычетом по модулю д , если и только если д является не квадратичным вычетом по модулю  р . [7]

В конечном поле Z / p, где p - простое число Пифагора, полиномиальное уравнение x 2  = −1 имеет два решения. Это можно выразить, сказав, что −1 - квадратичный вычет по модулю p . Напротив, это уравнение не имеет решения в конечных полях Z / p, где p - нечетное простое число, но не пифагорово. [8]

Граф Пэли с 13 вершинами

Для каждого простого числа Пифагора p существует граф Пэли с p вершинами, представляющий числа по модулю  p , с двумя соседними числами в графе тогда и только тогда, когда их разность является квадратичным вычетом. Это определение производит одно и то же отношение смежности независимо от порядка, в котором два числа вычитаются для вычисления их разности, из-за свойства простых чисел Пифагора, что -1 является квадратичным остатком. [9]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Рубинштейн, Майкл; Сарнак, Питер (1994), "смещение Чебышева", Экспериментальная математика , 3 (3): 173-197, DOI : 10,1080 / 10586458.1994.10504289.
  2. ^ Гранвиль, Эндрю ; Мартин, Грег (январь 2006 г.). "Гонки простых чисел" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 113 (1): 1-33. DOI : 10.2307 / 27641834 . JSTOR 27641834 .   CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  3. ^ Стюарт, Ян (2008), Почему красота - это правда: история симметрии , Основные книги, стр. 264, ISBN 9780465082377 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  4. ^ Левек, Уильям Джадсон (1996), Основы теории чисел , Довер, стр. 183, ISBN 9780486689067 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  5. ^ Стиллвелл, Джон (2003), Элементы теории чисел , Тексты для бакалавров по математике , Springer, стр. 112, ISBN 9780387955872 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  6. ↑ Mazur, Barry (2010), «Алгебраические числа [IV.I]», в Gowers, Timothy (ed.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, стр. 315–332, ISBN 9781400830398 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )См., В частности, раздел 9 «Представления простых чисел двоичными квадратичными формами», с. 325 .
  7. ^ Левек (1996) , стр. 103 .
  8. ^ Левек (1996) , стр. 100 .
  9. ↑ Chung, Fan RK (1997), Spectral Graph Theory , Серия региональных конференций CBMS, 92 , Американское математическое общество, стр. 97–98, ISBN 9780821889367 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).

Внешние ссылки [ править ]

  • Карнизы, Лоуренс . «Простые числа Пифагора: в том числе 5, 13 и 137» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2016-03-19 . Проверено 2 апреля 2013 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Последовательность OEIS A007350 (где основная гонка 4n-1 против 4n + 1 меняет лидера)