В математике , то число Пифагора или уменьшенная высота из поля описывает структуру множества квадратов в данной области. Число Пифагора p ( K ) поля K - это наименьшее положительное целое число p такое, что каждая сумма квадратов в K является суммой p квадратов.
Пифагора поле представляет собой поле с Пифагором числом 1: то есть, каждая сумма квадратов уже квадрат.
Примеры
- Каждое неотрицательное действительное число представляет собой квадрат, поэтому p ( R ) = 1.
- Для конечного поля нечетной характеристики не каждый элемент является квадратом, но все они представляют собой сумму двух квадратов, [1] поэтому p = 2.
- По теореме Лагранжа о четырех квадратах каждое положительное рациональное число представляет собой сумму четырех квадратов, а не все суммы трех квадратов, поэтому p ( Q ) = 4.
Характеристики
- Каждое положительное целое число встречается как число Пифагора некоторого формально действительного поля . [2]
- Число Пифагора связано со Стюфе соотношением p ( F ) ≤ s ( F ) + 1. [3] Если F не является формально действительным, то s ( F ) ≤ p ( F ) ≤ s ( F ) + 1, [4 ] и оба случая возможны: для F = C имеем s = p = 1, тогда как для F = F 5 имеем s = 1, p = 2. [5]
- Число Пифагора связано с высотой поля F : если F формально вещественно, то h ( F ) - наименьшая степень двойки, которая не меньше p ( F ); если F не является формально вещественным, то h ( F ) = 2 s ( F ). [6] Как следствие, число Пифагора неформально-реального поля, если оно конечно, является либо степенью 2, либо единицей меньше степени 2, и все случаи встречаются. [7]
Заметки
Рекомендации
- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . 67 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Руководство по ремонту 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Раджваде, АР (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. 171 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .