Пифагорейское поле

---

В алгебре пифагорейское поле — это поле , в котором каждая сумма двух квадратов является квадратом: эквивалентно, оно имеет число Пифагора , равное 1. Пифагорово расширение поля — это расширение, полученное присоединением элемента для некоторого в . Таким образом, пифагорейское поле — это поле, замкнутое относительно пифагорейских расширений. Для любого поля существует содержащее его минимальное пифагорово поле, единственное с точностью до изоморфизма , называемое его пифагоровым замыканием . ^[1] Гильбертово поле — это минимальное упорядоченное пифагорейское поле. ^[2]${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle {\ sqrt {1+ \ лямбда ^ {2}}}}$${\ Displaystyle \ лямбда}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ textstyle F ^ {\ mathrm {py}}}$

Каждое евклидово поле ( упорядоченное поле , в котором все положительные элементы являются квадратами) является упорядоченным пифагорейским полем, но обратное утверждение неверно. ^[3] Квадратично замкнутое поле является пифагорейским полем, но не наоборот ( является пифагорейским); однако формально не вещественное пифагорейское поле квадратично замкнуто. ^[4]${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$

Кольцо Витта пифагорейского поля имеет порядок 2, если поле не является формально вещественным , и не имеет кручения в противном случае. ^[1] Для поля существует точная последовательность, включающая кольца Витта${\ Displaystyle F}$

где – фундаментальный идеал кольца Витта из ^[5] и обозначает его периодическую подгруппу (которая является как раз нильрадикалом ) . ^[6]${\ Displaystyle ИВ (Ф)}$${\ Displaystyle F}$${\ displaystyle \ operatorname {Tor} IW (F)}$${\ Displaystyle В (Ф)}$

Пифагорейские поля можно использовать для построения моделей некоторых аксиом Гильберта для геометрии ( Iyanaga & Kawada 1980 , 163 C). Координатная геометрия, заданная для пифагорейского поля, удовлетворяет многим аксиомам Гильберта, таким как аксиомы инцидентности, аксиомы конгруэнтности и аксиомы параллелей. Однако в общем случае эта геометрия не обязана удовлетворять всем аксиомам Гильберта, если только поле F не обладает дополнительными свойствами: например, если поле также упорядочено, то геометрия будет удовлетворять аксиомам упорядочения Гильберта, а если поле также полно, геометрия будет удовлетворять аксиомам Гильберта. аксиома полноты.${\ Displaystyle F ^ {п}}$${\ Displaystyle F}$

---