В математике , А Витты группа из поля , названная в честь Эрнста Witt , является абелевой группой , элементы которой представлены симметричными билинейными формами над полем.
Определение
Исправление поля K в характеристике не равно двум. Все векторные пространства будут считаться конечно- мерным . Мы говорим, что два пространства, снабженные симметричными билинейными формами , эквивалентны, если одно может быть получено из другого путем добавления метаболического квадратичного пространства , то есть нуля или более копий гиперболической плоскости , невырожденной двумерной симметричной билинейной формы с вектор нормы 0. [1] Каждый класс представлен основной форме в виде разложения Witt . [2]
Группа Витта k - это абелева группа W ( k ) классов эквивалентности невырожденных симметрических билинейных форм с групповой операцией, соответствующей ортогональной прямой сумме форм. Он аддитивно порождается классами одномерных форм. [3] Хотя классы могут содержать пространства разной размерности, четность размерности постоянна для класса, и поэтому rk: W ( k ) → Z / 2 Z является гомоморфизмом . [4]
Элементы конечного порядка в группе Витта имеют порядок степени 2; [5] [6] подгруппа кручения является ядром из функторного отображения из W ( K ) в W ( K р ), где к р является Пифагором замыканием на к ; [7] он порождается формами Пфистера с участием ненулевая сумма квадратов. [8] Если к не формально реальным , то группа Витта является торсионная , с показателем степени 2. [9] высота поля к является показателем кручения в группе Witt, если это конечное, или ∞ в противном случае. [8]
Структура кольца
Группе Витта k можно дать коммутативную кольцевую структуру, используя тензорное произведение квадратичных форм для определения кольцевого произведения. Это иногда называют кольцом Витта W ( k ), хотя термин «кольцо Витта» часто также используется для совершенно другого кольца векторов Витта .
Чтобы обсудить структуру этого кольца, мы предполагаем, что k имеет характеристику, отличную от 2, так что мы можем идентифицировать симметричные билинейные формы и квадратичные формы.
Ядро ранга кратна 2 гомоморфизм является простой идеал , я , в кольце Витта [4] называется фундаментальным идеалом . [10] В кольцевых гомоморфизмах из W ( K ) до Z соответствует полям упорядочений из к , принимая подпись с соответствующим упорядочением. [10] Кольцо Витта является кольцом Якобсона . [9] Это нётерово кольцо тогда и только тогда, когда существует конечное число квадратных классов ; то есть, если квадраты в k образуют подгруппу конечного индекса в мультипликативной группе k . [11]
Если k не является формально действительным, фундаментальный идеал является единственным первичным идеалом W [12] и состоит в точности из нильпотентных элементов ; [9] W является локальным кольцом и имеет размерность Крулля 0. [13]
Если k вещественно, то нильпотентные элементы - это в точности элементы конечного аддитивного порядка, а это, в свою очередь, формы, все сигнатуры которых равны нулю; [14] W имеет размерность Крулля 1. [13]
Если к является реальным поле Пифагора то делителей нуля из W являются элементами , для которых некоторая сигнатура равна нулю; в противном случае делители нуля и есть фундаментальный идеал. [5] [15]
Если к является упорядоченным поле с положительным конусом Р , то закон Сильвестра инерции имеет место для квадратичных форм над к и подписи определяет кольцевой гомоморфизм из W ( K ) до Z , с ядром простым идеалом К Р . Эти простые идеалы находятся в биекции с порядками X k поля k и составляют спектр минимальных простых идеалов MinSpec W ( k ) группы W ( k ). Биекция - это гомеоморфизм между MinSpec W ( k ) с топологией Зарисского и множеством порядков X k с топологией Харрисона . [16]
П -я мощность фундаментального идеала аддитивно порождается п -кратной Пфистер форм . [17]
Примеры
- Витт кольцо С , и действительно любое алгебраически замкнутое поле или квадратично замкнутое поле , является Z / 2 Z . [18]
- Витт кольцо R является Z . [18]
- Витт кольцо конечного поля F д с д нечетным является Z / 4 Z , если Q ≡ 3 по модулю 4 и изоморфен с кольцом группы ( Z / 2 Z ) [ Р * / F * 2 ] , если д ≡ 1 по модулю 4. [19]
- Витт кольцо локального поля с максимальным идеалом в норме , сравнимых с 1 по модулю 4 изоморфна группе кольца ( Z / 2 Z ) [ V ] , где V представляет собой Клейн 4-группой . [20]
- Кольцо Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, сравнимой с 3 по модулю 4, есть ( Z / 4 Z ) [ C 2 ], где C 2 - циклическая группа порядка 2. [20]
- Кольцо Витта Q 2 имеет порядок 32 и дается формулой [21]
Инварианты
Некоторые инварианты квадратичной формы можно рассматривать как функции на классах Витта. Мы видели, что размерность по модулю 2 является функцией классов: дискриминант также хорошо определен. Инвариант Хассе квадратичной формы снова четко определенная функция на классах Witt со значениями в группе Брауэра поля определения. [22]
Ранг и дискриминант
Определим кольцо над K , Q ( K ), в виде набора пар ( д , е ) с D в K * / K * 2 и е в Z / 2 Z . Сложение и умножение определяются:
Тогда существует сюръективный кольцевой гомоморфизм из W ( K ) в него, полученный отображением класса в дискриминант и ранг по модулю 2. Ядро - это I 2 . [23] Элементы Q можно рассматривать как классифицируя градуированную квадратичные расширения K . [24]
Группа Брауэра – Уолла
Тройка дискриминанта, ранга по модулю 2 и инварианта Хассе определяет отображение из W ( K ) в группу Брауэра – Уолла BW ( K ). [25]
Кольцо Витта локального поля
Пусть К быть полное локальное поле с оценкой V , uniformiser я и поле вычетов к характеристикам , не равно 2. Существует инъекцию W ( K ) → W ( K ) , который поднимает диагональную форму ⟨ с 1 , ... A п ⟩ к ⟨ U 1 , ... у п ⟩ , где у я это единица K с изображением я в к . Это дает
отождествляя W ( k ) с его образом в W ( K ). [26]
Кольцо Витта числового поля
Пусть K - числовое поле . Для квадратичных форм над K существует инвариант Хассе ± 1 для каждого конечного места, соответствующего символам Гильберта . Инварианты формы над числовым полем - это в точности размерность, дискриминант, все локальные инварианты Хассе и сигнатуры, полученные от реальных вложений. [27]
Мы определяем кольцо символов над K , Sym ( K ), как набор троек ( d , e , f ) с d в K * / K * 2 , e в Z / 2 и f как последовательность элементов ± 1, индексированных местами K , при условии, что все, кроме конечного числа членов f равны +1, что значение на сложных местах равно +1 и что произведение всех членов f в +1. Пусть [ a , b ] - последовательность символов Гильберта: она удовлетворяет только что сформулированным условиям на f . [28]
Мы определяем сложение и умножение следующим образом:
Тогда существует сюръективный кольцевой гомоморфизм из W ( K ) в Sym ( K ), полученный отображением класса в дискриминант, ранг mod 2 и последовательность инвариантов Хассе. Ядро - I 3 . [29]
Кольцо с символом - это реализация группы Брауэра-Уолла. [30]
Кольцо Витта рациональных чисел
Из теоремы Хассе – Минковского следует, что существует инъекция [31]
Мы делаем это конкретным и вычисляем образ, используя «гомоморфизм второго вычета» W ( Q p ) → W ( F p ). Составив отображение W ( Q ) → W ( Q p ), мы получим гомоморфизм группы ∂ p : W ( Q ) → W ( F p ) (для p = 2 мы определяем ∂ 2 как 2-адическое нормирование дискриминант, взятый по модулю 2).
Тогда у нас есть расщепленная точная последовательность [32]
который можно записать как изоморфизм
где первый компонент - подпись. [33]
Кольцо Витта и K-теория Милнора
Пусть k - поле характеристики, не равной 2. Степени идеала I форм четной размерности («фундаментальный идеал») вобразуют убывающую фильтрацию, и можно рассматривать ассоциированное градуированное кольцо , то есть прямую сумму частных. Позволять квадратичная форма рассматривается как элемент кольца Витта. потомявляется элементом I и, соответственно, произведением вида
является элементом Джон Милнор в статье 1970 г. [34] доказал, что отображение из к что посылает к является полилинейным и отображает элементы Стейнберга (такие, что для некоторых а также такой, что надо ) до нуля. Это означает, что это отображение определяет гомоморфизм кольца Милнора поля k на градуированное кольцо Витта. Милнор также показал, что этот гомоморфизм переводит элементы, делящиеся на 2, до нуля, и что он сюръективен. В той же работе он высказал гипотезу, что этот гомоморфизм является изоморфизмом для всех полей k (характеристики отличной от 2). Это стало известно как гипотеза Милнора о квадратичных формах.
Гипотеза была доказана Дмитрием Орловым, Александром Вишиком и Владимиром Воеводским [35] в 1996 г. (опубликовано в 2007 г.) по делу, что привело к лучшему пониманию структуры квадратичных форм над произвольными полями.
Кольцо Гротендика-Витта
Гротендик-Витта кольцо GW является связанным строительство порождается изометрия классов невырожденных квадратичных пространств с добавлением заданных ортогональной суммой и умножением заданной тензорным произведением. Поскольку два пространства, которые отличаются гиперболической плоскостью, не идентифицируются в GW , необходимо формально ввести обратное для сложения через конструкцию, открытую Гротендиком (см. Группу Гротендика ). Существует естественный гомоморфизм GW → Z, задаваемый размерностью: поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда это изоморфизм. [18] Гиперболические пространства порождают идеал в GW, а кольцо Витта W является фактором. [36] внешняя сила дает Гротендик-Witt кольцу дополнительной структуру Х-кольцо . [37]
Примеры
- Гротендик-Витта кольцо С , и действительно любое алгебраически замкнутое поле или квадратично замкнутое поле , является Z . [18]
- Кольцо Гротендика-Витта кольца R изоморфно групповому кольцу Z [ C 2 ], где C 2 - циклическая группа порядка 2. [18]
- Кольцо Гротендика-Витта любого конечного поля нечетной характеристики есть Z ⊕ Z / 2 Z с тривиальным умножением во второй компоненте. [38] Элемент (1, 0) соответствует квадратичной форме ⟨ в ⟩ , где не является квадратом в конечном поле.
- Кольцо Гротендика-Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, сравнимой с 1 по модулю 4, изоморфно Z ⊕ ( Z / 2 Z ) 3 . [20]
- Гротендик-Витта кольцо локального поля с максимальным идеалом нормы конгруэнтных 3 по модулю 4 это Z» ⊕ Z / 4 Z ⊕ Z / 2 Z . [20]
Кольцо Гротендика-Витта и мотивные стабильные гомотопические группы сфер
Фабьен Морель [39] [40] показал, что кольцо Гротендика-Витта совершенного поля изоморфно мотивно стабильной гомотопической группе сфер π 0,0 (S 0,0 ) (см. « Теорию гомотопий A¹ »).
Эквивалентность Витта
Два поля называются виттовскими, если их кольца Витта изоморфны.
Для глобальных полей существует принцип от локального к глобальному: два глобальных поля эквивалентны Витту тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между их местами, так что соответствующие локальные поля эквивалентны Витту. [41] В частности, два числовых поля K и L эквивалентны Витту тогда и только тогда, когда существует биекция T между точками K и местами L и групповой изоморфизм t между их группами квадратного класса , сохраняющий гильбертову степень 2 символы. В этом случае пара ( T , t ) называется эквивалентностью взаимности или эквивалентностью символа Гильберта степени 2 . [42] Некоторые вариации и расширения этого условия, такие как «ручная эквивалентность символа Гильберта степени l », также были изучены. [43]
Обобщения
Witt группа также может быть определена таким же образом , для кососимметрических форм , а также для квадратичных форм , а также в более общем случае ε-квадратичные формы , над любым * -кольцом R .
Полученные группы (и их обобщения) известны как четномерные симметрические L -группы L 2 k ( R ) и четномерные квадратичные L -группы L 2 k ( R ). Квадратичные L -группы являются 4-периодическими, причем L 0 ( R ) является группой Витта (1) -квадратичных форм (симметричных), а L 2 ( R ) является группой Витта (−1) -квадратичных форм ( кососимметричный); симметрические L -группы не являются 4-периодическими для всех колец, поэтому они дают менее точное обобщение.
L -группы - центральные объекты теории хирургии , образующие один из трех членов точной последовательности операций .
Смотрите также
- Уменьшенная высота поля
Заметки
- ^ Милнором & Husemoller (1973) р. 14
- ^ Лоренц (2008) стр. 30
- ^ Милнором & Husemoller (1973) р. 65
- ^ a b Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 66
- ^ a b Лоренц (2008) стр. 37
- ^ Милнором & Husemoller (1973) р. 72
- ^ Лам (2005) стр. 260
- ^ а б Лам (2005) стр. 395
- ^ a b c Лоренц (2008) с. 35 год
- ^ a b Лоренц (2008) стр. 31 год
- ^ Лам (2005) стр. 32
- ^ Лоренц (2008) стр. 33
- ^ а б Лам (2005) стр. 280
- ^ Лоренц (2008) стр. 36
- ^ Лам (2005) стр. 282
- ↑ Лам (2005), стр. 277–280
- ^ Lam (2005) p.316
- ^ a b c d e Lam (2005) с. 34
- ↑ Лам (2005) стр.37
- ^ а б в г Лам (2005) стр.152
- ^ Lam (2005) стр.166
- ↑ Лам (2005) стр.119
- ↑ Коннер и Перлис (1984), стр.12
- ^ Lam (2005) стр.113
- ^ Lam (2005) стр.117
- ^ Garibaldi, Меркурьев и Серра (2003) стр.64
- ↑ Коннер и Перлис (1984), стр.16
- ^ Коннер & Перлис (1984) p.16-17
- ↑ Коннер и Перлис (1984), стр.18
- ↑ Лам (2005) стр.116
- ^ Lam (2005) с.174
- ^ Lam (2005) стр.175
- ^ Lam (2005) с.178
- ^ Милнор, Джон Уиллард (1970), "Алгебраическая K-теория и квадратичные формы", Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318-344, DOI : 10.1007 / BF01425486 , ISSN 0020-9910 , MR 0260844
- ^ Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), "Точная последовательность для K * M / 2 с приложениями к квадратичным формам", Annals of Mathematics , 165 (1): 1–13, arXiv : math / 0101023 , doi : 10.4007 / annals.2007.165 .1
- ^ Лам (2005) стр. 28 год
- ^ Garibaldi, Меркурьев и Серра (2003) стр.63
- ^ Лам (2005) стр.36, теорема 3.5
- ^ , О мотивационной стабильной π 0 сферного спектра, В: Аксиоматическая, обогащенная и мотивационная теория гомотопий, стр. 219–260, JPC Greenlees (ed.), 2004 Kluwer Academic Publishers.
- ^ Фабьен Morel, 1 -алгебраической топология над полем. Конспект лекций по математике 2052, Springer Verlag, 2012.
- ^ Perlis, R .; Szymiczek, K .; Коннер, ЧП; Литерленд, Р. (1994). «Сопоставление Виттса с глобальными полями». В Jacob, William B .; и другие. (ред.). Последние достижения в реальной алгебраической геометрии и квадратичных формах . Contemp. Математика. 155 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 365–387. ISBN 0-8218-5154-3. Zbl 0807.11024 .
- ^ Шимичек, Казимеж (1997). «Гильбертово-символьная эквивалентность числовых полей». Tatra Mt. Математика. Publ . 11 : 7–16. Zbl 0978.11012 .
- ^ Чогала, А. (1999). «Высшая степень ручной гильбертово-символьной эквивалентности числовых полей». Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург . 69 : 175–185. DOI : 10.1007 / bf02940871 . Zbl 0968.11038 .
Рекомендации
- Коннер, Пьер Э .; Перлис, Роберт (1984). Обзор форм следов полей алгебраических чисел . Серия по чистой математике. 2 . World Scientific. ISBN 9971-966-05-0. Zbl 0551.10017 .
- Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа . Серия университетских лекций. 28 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3287-5. Zbl 1159.12311 .
- Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . 67 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Руководство по ремонту 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001
- Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы . Springer. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .
- Милнор, Джон ; Хусемоллер, Дейл (1973). Симметричные билинейные формы . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-Х. Zbl 0292.10016 .
- Витт, Эрнст (1936), "Theorie der quadratischen Formen in Believe Korpern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 176 (3): 31–44, Zbl 0015.05701
дальнейшее чтение
- Балмер, Пол (2005). «Группы Витта». В Friedlander, Eric M .; Грейсон, Д.Р. (ред.). Справочник K -теория . 2 . Springer-Verlag . С. 539–579. ISBN 3-540-23019-Х. Zbl 1115.19004 .
Внешние ссылки
- Кольца Витта в энциклопедии математики Спрингера