В математике, в частности абстрактной алгебры , в квадратном классе в виде поля является элементом квадратной группы классов , фактор-группа из мультипликативной группы ненулевых элементов в поле по модулю квадратных элементов поля. Каждый квадратный класс - это подмножество ненулевых элементов ( смежный класс мультипликативной группы), состоящее из элементов формы xy 2, где x - некоторый конкретный фиксированный элемент, а y пробегает все ненулевые элементы поля. [1]
Например, если , поле действительных чисел , то это просто группа всех ненулевых действительных чисел (с операцией умножения) и является подгруппой из положительных чисел (как каждое положительное число имеет реальный корень квадратный ). Частное этих двух групп представляет собой группу с двумя элементами, соответствующими двум смежным классам : множеству положительных чисел и множеству отрицательных чисел. Таким образом, действительные числа имеют два класса квадратов: положительные числа и отрицательные числа. [1]
Квадратные классы часто изучаются в связи с теорией квадратичных форм . [2] Причина в том, что если является - векторное пространство и является квадратичной формой и является элементом такой, что , то для всех , и поэтому иногда удобнее говорить о классах квадратов, которые представляет квадратичная форма.
Каждый элемент квадратной группы классов является инволюцией . Отсюда следует, что если количество квадратных классов поля конечно, оно должно быть степенью двойки . [2]
Рекомендации
- ^ a b Зальцманн, Х. (2007), Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел , Энциклопедия математики и ее приложений, 112 , Cambridge University Press, стр. 295, ISBN 9780521865166.
- ^ а б Шимичек, Казимеж (1997), Билинейная алгебра: введение в алгебраическую теорию квадратичных форм , алгебру, логику и приложения, 7 , CRC Press, стр. 29, 109, ISBN 9789056990763.