В геометрии , Декарт теорема утверждает , что для каждых четыре целуя, или взаимно касательный , окружность , радиусы окружностей удовлетворяют некоторое квадратное уравнение . Решая это уравнение, можно построить четвертую окружность, касающуюся трех заданных взаимно касательных окружностей. Теорема названа в честь Рене Декарта , сформулировавшего ее в 1643 году.
История
Геометрические проблемы, связанные с касательными окружностями, обсуждались на протяжении тысячелетий. В Древней Греции III века до нашей эры Аполлоний Пергский посвятил этой теме целую книгу.
Рене Декарт кратко обсудил проблему в 1643 году в письме принцессе Елизавете Пфальцской . Он пришел к тому же решению, что и приведенное ниже в уравнении (1) , и таким образом добавил свое имя к теореме.
Они были заново открыты в 1826 году Якобом Штайнером , в 1842 году Филипом Бикрофтом [1] и в 1936 году Фредериком Содди . Круги поцелуев в этой задаче иногда называют кругами Содди , возможно, потому, что Содди решил опубликовать свою версию теоремы в форме стихотворения под названием The Kiss Precise , которое было напечатано в журнале Nature (20 июня 1936 г.). Содди также распространил теорему на сферы; Торольд Госсет распространил теорему на произвольные измерения.
Определение кривизны
Теорема Декарта легче всего формулируется в терминах кривизны окружностей . Кривизны (или изгиб ) окружности определяется как к = ± 1 / г , где г является ее радиус. Чем больше круг, тем меньше величина его кривизны, и наоборот.
Знак плюс в k = ± 1 / r применяется к кругу, который касается других кругов снаружи , как три черных круга на изображении. Для окружности с внутренним касанием, такой как большой красный круг, который ограничивает другие окружности, применяется отрицательный знак.
Если прямая линия считается вырожденной окружностью с нулевой кривизной (и, следовательно, с бесконечным радиусом), теорема Декарта также применяется к прямой и двум окружностям, которые все три касаются друг друга, давая радиус третьей окружности, касающейся двух других окружностей. и линия.
Если четыре окружности касаются друг друга в шести различных точках, а окружности имеют кривизну k i (для i = 1, ..., 4), теорема Декарта гласит:
( 1 )
При попытке найти радиус четвертого круга, касательного к трем заданным кругам поцелуев, уравнение лучше всего переписать как:
( 2 )
Знак ± отражает тот факт, что в общем случае существует два решения. Игнорируя вырожденный случай прямой, одно решение положительно, а другое либо положительно, либо отрицательно; если отрицательный, он представляет собой круг, ограничивающий первые три (как показано на диаграмме выше).
Критерии, связанные с конкретной проблемой, могут отдавать предпочтение одному решению любой конкретной проблемы.
Особые случаи
Если одна из трех окружностей заменена прямой линией, то один k i , скажем, k 3 , равен нулю и выпадает из уравнения (1) . Тогда уравнение (2) становится намного проще:
( 3 )
Если две окружности заменены прямыми, касание между двумя замененными окружностями становится параллелизмом между их двумя заменяющими линиями. Чтобы все четыре кривые оставались касательными друг к другу, две другие окружности должны быть конгруэнтными. В этом случае при k 2 = k 3 = 0 уравнение (2) сводится к тривиальному
Невозможно заменить три окружности прямыми, так как три прямые и одна окружность не могут касаться друг друга. Теорема Декарта неприменима, когда все четыре окружности касаются друг друга в одной и той же точке.
Другой особый случай - когда k i - квадраты,
Эйлер показал, что это эквивалентно одновременной тройке пифагоровых троек :
и может иметь параметрическое решение . Когда выбран знак минус кривизны,
это может быть решено [2] как,
где
параметрические решения которых хорошо известны.
Комплексная теорема Декарта
Чтобы полностью определить круг, необходимо знать не только его радиус (или кривизну), но и его центр. Соответствующее уравнение выражается наиболее четко, если координаты ( x , y ) интерпретируются как комплексное число z = x + i y . Тогда уравнение выглядит похоже на теорему Декарта и поэтому называется комплексной теоремой Декарта .
Для четырех окружностей с кривизной k i и центрами z i (для i = 1 ... 4) в дополнение к уравнению (1) выполняется следующее равенство :
( 4 )
Как только k 4 был найден с использованием уравнения (2) , можно приступить к вычислению z 4 , переписав уравнение (4) в форму, аналогичную уравнению (2) :
Опять же, в общем случае существует два решения для z 4 , соответствующих двум решениям для k 4 . Обратите внимание, что знак плюс / минус в приведенной выше формуле для z не обязательно соответствует знаку плюс / минус в формуле для k.
Обобщения
Обобщение до n измерений иногда называют теоремой Содди – Госсета , хотя это было показано Р. Лахланом в 1886 году. В n -мерном евклидовом пространстве максимальное количество взаимно касательных ( n - 1) -сфер равно n + 2 . Например, в трехмерном пространстве пять сфер могут касаться друг друга. Кривизны гиперсфер удовлетворяют
со случаем k i = 0, соответствующим плоской гиперплоскости, в точной аналогии с двумерной версией теоремы.
Хотя трехмерного аналога комплексных чисел не существует, взаимосвязь между положениями центров может быть переформулирована в виде матричного уравнения, которое также обобщается на n измерений. [3]
Смотрите также
Заметки
- ^ Повелительница и дневник джентльмена нет, 139, стр. 91
- ^ Коллекция алгебраических тождеств: суммы трех или более четвертых степеней
- ^ Джеффри К. Лагариас; Колин Л. Мэллоуз; Аллан Р. Уилкс (апрель 2002 г.). «По ту сторону теоремы Декарта о круге». Американский математический ежемесячник . 109 (4): 338–361. arXiv : math / 0101066 . DOI : 10.2307 / 2695498 . JSTOR 2695498 .
Внешние ссылки
- Интерактивный апплет, демонстрирующий четыре касательных друг к другу окружности в точках сечения.
- Поцелуй Precise
- Джеффри К. Лагариас, Колин Л. Мэллоуз, Аллан Р. Уилкс: за гранью теоремы Декарта о круге