В геометрии изопериметрическая точка - это особая точка, связанная с плоским треугольником . Этот термин был первоначально введен Г. Р. Велдкампом в статье, опубликованной в American Mathematical Monthly в 1985 году для обозначения точки P на плоскости треугольника ABC, обладающей тем свойством, что треугольники PBC , PCA и PAB имеют изопериметры, то есть свойство, которое [1] [2]
- PB + BC + CP = ПК + CA + AP = PA + AB + BP .
Изопериметрические точки по Вельдкампу существуют только для треугольников, удовлетворяющих определенным условиям. Изопериметрическая точка треугольника ABC по Вельдкампу, если она существует, имеет следующие трилинейные координаты . [3]
- (сек ( A / 2) cos ( B / 2) cos ( C / 2) - 1, сек ( B / 2) cos ( C / 2) cos ( A / 2) - 1, сек ( C / 2) cos ( A / 2) cos ( B / 2) - 1)
Данному треугольнику ABC можно сопоставить точку P, имеющую трилинейные координаты, указанные выше. Эта точка представляет собой треугольник центр и Кларк Kimberling «s Энциклопедию Triangle центров (ETC) это называется изопериметрической точка треугольника ABC . Он обозначен как центр треугольника X (175). [4] Точка X (175) не обязательно должна быть изопериметрической точкой треугольника ABC в смысле Вельдкампа. Однако если существует изопериметрическая точка треугольника ABC по Вельдкампу, то она будет идентична точке X (175).
Точка P с тем свойством, что треугольники PBC , PCA и PAB имеют одинаковый периметр, была изучена еще в 1890 году в статье Эмиля Лемуана . [4] [5]
Существование изопериметрической точки по Вельдкампу [ править ]
Пусть ABC - произвольный треугольник. Пусть стороны этого треугольника равны a , b и c . Пусть его описанный радиус равен R, а внутренний радиус равен r . Необходимое и достаточное условие существования изопериметрической точки по Вельдкампу можно сформулировать следующим образом. [1]
- Треугольник ABC имеет изопериметрическую точку по Вельдкампу тогда и только тогда, когда a + b + c > 4 R + r .
Для всех остроугольных треугольников ABC мы имеем a + b + c > 4 R + r , и поэтому все остроугольные треугольники имеют изопериметрические точки в смысле Вельдкампа.
Свойства [ править ]
Обозначим через P центр треугольника X (175) треугольника ABC . [4]
- P лежит на прямой, соединяющей центр и точку Жергонна треугольника ABC .
- Если P - изопериметрическая точка треугольника ABC в смысле Вельдкампа , то вневписанные окружности треугольников PBC , PCA , PAB попарно касаются друг друга, а P - их радикальный центр.
- Если P - изопериметрическая точка треугольника ABC в смысле Вельдкампа, то периметры треугольников PBC , PCA , PAB равны 2 Δ / | (4 R + r - ( a + b + c )) | где Δ - площадь, R - радиус описанной окружности, r - внутренний радиус, а a , b , c - длины сторон треугольника ABC . [6]
Дрянные круги [ править ]
Дан треугольник ABC, можно нарисовать окружности в плоскости треугольника ABC с центрами в A , B и C так , чтобы они касались друг друга внешне. В общем, можно нарисовать две новые окружности так, чтобы каждая из них касалась трех окружностей с центрами A , B , C. (Одна из окружностей может выродиться в прямую.) Эти окружности представляют собой окружности Содди треугольника ABC . Круг с меньшим радиусом - это внутренний круг Содди, а его центр называется внутренней точкой Содди или внутренним центром Содди.треугольника ABC . Круг с большим радиусом - это внешний круг Содди, а его центр называется внешней точкой Содди или внешним центром Содди треугольника ABC .[6] [7]
Центр треугольника X (175), изопериметрическая точка по Кимберлингу, является внешней точкой Содди треугольника ABC .
Ссылки [ править ]
- ^ a b Г. Р. Велдкамп (1985). «Изопериметрическая точка и точка (точки) равного объезда». Амер. Математика. Ежемесячно . 92 (8): 546–558. DOI : 10.2307 / 2323159 . JSTOR 2323159 .
- ^ Хаджа, Моваффак; Yff, Питер (2007). «Изопериметрическая точка и точка (точки) равного объезда в треугольнике». Журнал геометрии . 87 (1–2): 76–82. DOI : 10.1007 / s00022-007-1906-у .
- ^ Кимберлинг, Кларк. «Изопериметрическая точка и точка равного объезда» . Проверено 27 мая 2012 года .
- ^ a b c Кимберлинг, Кларк. «Изопериметрическая точка X (175)» . Архивировано из оригинального 19 апреля 2012 года . Проверено 27 мая 2012 года .
- ^ Статья Эмиля Лемуана доступна в Gallica. Статья начинается на странице 111, а суть обсуждается на странице 126. Gallica
- ^ a b Николаос Дергиадес (2007). "Дерновые круги" (PDF) . Форум Геометрикорум . 7 : 191–197 . Проверено 29 мая 2012 года .
- ^ "Дерновые круги" . Проверено 29 мая 2012 года .
Внешние ссылки [ править ]
- изопериметрические и равные объездные точки - интерактивная иллюстрация на Geogebratube