В математике доказательство бесконечного спуска , также известное как метод спуска Ферма, представляет собой особый вид доказательства от противоречия, используемого, чтобы показать, что утверждение не может быть верным ни для какого числа, показывая, что если бы утверждение было верным для числа , то то же самое будет верно и для меньшего числа, что приведет к бесконечному спуску и, в конечном итоге, к противоречию. [1] [2] Этот метод основан на принципе хорошего упорядочения и часто используется, чтобы показать, что данное уравнение, такое как диофантово уравнение , не имеет решений. [3] [4]
Как правило, один показывает, что если существует решение проблемы, которое в некотором смысле связано с одним или несколькими натуральными числами, это обязательно означает, что существует второе решение, которое связано с одним или несколькими «меньшими» натуральными числами. Это, в свою очередь, означало бы третье решение, связанное с меньшими натуральными числами, подразумевая четвертое решение, следовательно, пятое решение и так далее. Однако не может быть бесконечности все меньших натуральных чисел, и поэтому по математической индукции исходная посылка о том, что любое решение существует, неверна: ее правильность порождает противоречие .
Альтернативный способ выразить это - предположить, что существует одно или несколько решений или примеров, из которых затем можно вывести наименьшее решение или пример - минимальный контрпример . Оказавшись там, можно попытаться доказать, что если существует наименьшее решение, то оно должно подразумевать существование меньшего решения (в некотором смысле), что еще раз доказывает, что существование любого решения привело бы к противоречию.
Самые ранние применения метода бесконечного спуска появляются в « Элементах » Евклида . [3] Типичным примером является предложение 31 книги 7, в котором Евклид доказывает, что каждое составное целое число делится (в терминологии Евклида «измеряется») некоторым простым числом. [2]
Этот метод был значительно позже развит Ферма , который ввел термин и часто использовал его для диофантовых уравнений . [4] [5] Два типичных примера демонстрируют неразрешимость диофантова уравнения r 2 + s 4 = t 4 и доказывают теорему Ферма о суммах двух квадратов , в которой говорится, что нечетное простое число p может быть выражено в виде суммы двух квадратов при p ≡ 1 ( mod 4) (см. доказательство ). Таким образом Ферма смог показать отсутствие решений во многих случаях диофантовых уравнений, представляющих интерес для классической науки (например, проблема четырех полных квадратов в арифметической прогрессии ).
В некоторых случаях, для современного глаза, его «метод бесконечного спуска» является эксплуатация инверсии функции удвоения для рациональных точек на эллиптической кривой Е . Контекст гипотетической нетривиальной рациональной точки на Е . Удвоение точки на E примерно вдвое увеличивает длину чисел, необходимых для ее записи (как количество цифр), так что «деление точки вдвое» дает рациональное с меньшими членами. Поскольку условия положительные, они не могут уменьшаться вечно.
Теория чисел
В теории чисел двадцатого века метод бесконечного спуска был вновь поднят и доведен до такой степени, что он связался с основной направленностью алгебраической теории чисел и изучением L-функций . Структурный результат Морделла о том , что рациональные точки на эллиптической кривой E образуют конечно порожденную абелеву группу , использовал аргумент бесконечного спуска, основанный на E / 2 E в стиле Ферма.
Чтобы распространить это на случай абелевого многообразия A , Андре Вейлю пришлось сделать более явным способ количественной оценки размера решения с помощью функции высоты - концепция, которая стала основополагающей. Чтобы показать, что A ( Q ) / 2 A ( Q ) конечно, что, безусловно, является необходимым условием для конечного порождения группы A ( Q ) рациональных точек A , нужно провести вычисления в том, что позже было признано Галуа. когомологии . Таким образом, абстрактно определенные группы когомологий в теории отождествляются с потомками в традиции Ферма. Теорема Морделла – Вейля положила начало тому, что впоследствии стало очень обширной теорией.
Примеры применения
Иррациональность √ 2
Доказательство того, что квадратный корень из 2 ( √ 2 ) является иррациональным (т.е. не может быть выражен как дробь двух целых чисел), было обнаружено древними греками и, возможно, является самым ранним известным примером доказательства бесконечного спуска. Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или, говоря современным языком, квадратный корень из двух иррационален . Мало что достоверно известно о времени или обстоятельствах этого открытия, но часто упоминается имя Гиппаса из Метапонта. Какое-то время пифагорейцы считали официальной тайной открытие, что квадратный корень из двух иррационален, и, согласно легенде, Гиппас был убит за разглашение этого факта. [6] [7] [8] Квадратный корень из двух иногда называют «числом Пифагора» или «константой Пифагора», например, Conway & Guy (1996) . [9]
В древние греки , не имея алгебра , выработал геометрическое доказательство от бесконечного спуска ( Конвей представил еще геометрическое доказательство путем бесконечного спуска , который может быть более доступным [10] ). Следующее представляет собой алгебраическое доказательство в том же духе:
Предположим , что √ 2 были рациональными . Тогда это можно было бы записать как
для двух натуральных чисел p и q . Тогда возведение в квадрат даст
поэтому 2 должно делить p 2 . Поскольку 2 - простое число , оно также должно делить p по лемме Евклида . Итак, p = 2 r для некоторого целого r .
Но потом,
что показывает, что 2 также должно делить q . Итак, q = 2 s для некоторого целого s .
Это дает
- .
Следовательно, если √ 2 может быть записано как рациональное число, то оно всегда может быть записано как рациональное число с меньшими частями, которое само может быть записано с еще меньшими частями, до бесконечности . Но это невозможно в множестве натуральных чисел . Поскольку √ 2 - действительное число , которое может быть как рациональным, так и иррациональным, остается единственный вариант - сделать √ 2 иррациональным. [11]
(В качестве альтернативы, это доказывает, что если бы √ 2 было рациональным, никакое «наименьшее» представление в виде дроби не могло бы существовать, поскольку любая попытка найти «наименьшее» представление p / q означала бы существование меньшего, что является аналогичным противоречием. )
Иррациональность √ k, если это не целое число
Для положительного целого числа k предположим, что √ k не целое, но рациональное и может быть выражено как m ⁄ n для натуральных чисел m и n , и пусть q будет наибольшим целым числом меньше √ k . потом
Числитель и знаменатель были умножены на выражение ( √ k - q ), которое положительно, но меньше 1, а затем независимо упростились. Таким образом, два результирующих продукта, скажем, m ' и n' , сами по себе являются целыми числами, которые меньше m и n соответственно. Следовательно, независимо от того, какие натуральные числа m и n используются для выражения √ k , существуют меньшие натуральные числа m ' < m и n' < n, которые имеют такое же соотношение. Но бесконечный спуск натуральных чисел невозможен, поэтому это опровергает исходное предположение, что √ k может быть выражено как отношение натуральных чисел. [12]
Неразрешимость r 2 + s 4 = t 4 и его перестановок
Неразрешимость в целых числах достаточно, чтобы показать неразрешимость в целых числах, что является частным случаем Великой теоремы Ферма , и исторические доказательства последней продолжались более широким доказательством первой с использованием бесконечного спуска. Следующее более недавнее доказательство демонстрирует обе эти невозможности, еще более широко доказывая, что у треугольника Пифагора не может быть двух сторон, каждая из которых является квадратом или двукратным квадратом, поскольку не существует наименьшего такого треугольника: [13]
Предположим, существует такой треугольник Пифагора. Затем его можно уменьшить, чтобы получить примитивный (т. Е. Без общих факторов, кроме 1) треугольник Пифагора с тем же свойством. Стороны примитивных треугольников Пифагора можно записать как , где a и b взаимно просты, а a + b нечетно, а значит, и y, и z нечетны. Свойство, что y и z нечетны, означает, что ни y, ни z не могут быть дважды квадратами. Кроме того, если x - квадрат или дважды квадрат, то каждый из a и b является квадратом или дважды квадратом. Есть три случая, в зависимости от того, какие две стороны постулируют, чтобы каждая была квадратом или дважды квадратом:
- y и z : в этом случае y и z - квадраты. Но тут прямоугольный треугольник с ножками а также и гипотенуза также будет иметь целые стороны, включая квадратную ножку () и квадратная гипотенуза () и имел бы меньшую гипотенузу ( по сравнению с ).
- z и x : z - квадрат. Целочисленный прямоугольный треугольник с ножками а также и гипотенуза также будет иметь две стороны ( а также ) каждый из которых представляет собой квадрат или дважды квадрат и меньшую гипотенузу ( по сравнению с ) .
- y и x : y - квадрат. Целочисленный прямоугольный треугольник с ножками а также и гипотенуза будет иметь две стороны ( b и a ), каждая из которых представляет собой квадрат или дважды квадрат, с меньшей гипотенузой, чем исходный треугольник ( по сравнению с ).
В любом из этих случаев один треугольник Пифагора с двумя сторонами, каждая из которых является квадратом или два квадрата, привел к меньшему, что, в свою очередь, привело бы к меньшему, и т.д .; поскольку такая последовательность не может продолжаться бесконечно, исходное предположение о существовании такого треугольника должно быть неверным.
Отсюда следует, что уравнения
- а также
не может иметь нетривиальных решений, поскольку нетривиальные решения дадут треугольники Пифагора с двумя сторонами, являющимися квадратами.
Другие подобные доказательства бесконечным спуском для случая n = 4 теоремы Ферма см. В статьях Гранта и Переллы [14] и Барбары. [15]
Смотрите также
- Виета прыгает
Рекомендации
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Доказательство бесконечным спуском" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ а б «Что такое бесконечный спуск» . www.cut-the-knot.org . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ а б "Метод бесконечного спуска Ферма | Блестящая вики по математике и науке" . brilliant.org . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ а б Дональдсон, Нил. "Метод спуска Ферма" (PDF) . math.uci.edu . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ Вейль, Андре (1984), Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра , Birkhäuser , стр. 75–79, ISBN 0-8176-3141-0
- ^ Стефани Дж. Моррис, «Теорема Пифагора» , кафедра математики. Изд., Университет Джорджии .
- ^ Брайан Клегг, "Опасная Ratio ..." , Nrich.org, ноябрь 2004.
- ^ Курт фон Фриц, «Открытие несоизмеримости по Гиппасу Метапонта» , Annals математики, 1945.
- ^ Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард К. (1996), Книга Чисел , Коперник, стр. 25
- ^ «Квадратный корень из 2 иррационален (Доказательство 8)» . www.cut-the-knot.org . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ Конрад, Кейт (6 августа 2008 г.). «Бесконечный спуск» (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Проверено 10 декабря 2019 .
- ^ Sagher, Йорам (февраль 1988), "Что Пифагор мог бы сделать", American Mathematical Monthly , 95 (2): 117, DOI : 10,2307 / 2323064 , JSTOR 2323064
- ^ Долан, Стэн, "метод Ферма из Descente infinie ", Математический вестник 95, июль 2011, 269-271.
- ↑ Грант, Майк, и Перелла, Малкольм, «Спуск к иррациональному», Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., стр. 263–267.
- ↑ Барбара, Рой, «Последняя теорема Ферма в случае n = 4», Mathematical Gazette 91, июль 2007 г., стр. 260–262.
дальнейшее чтение
- Бесконечный спуск в PlanetMath .
- Пример последней теоремы Ферма на PlanetMath .