В математике , четыре квадратных Тождество Эйлера говорит о том , что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой четырех квадратов , само по себе является суммой четырех квадратов.
Для любой пары четверок из коммутативного кольца следующие выражения равны:
Эйлер написал об этом тождестве в письме от 4 мая 1748 г. к Гольдбаху [1] [2] (но он использовал другое соглашение о знаках, чем указано выше). Это можно проверить с помощью элементарной алгебры .
Это тождество было использовано Лагранжем для доказательства своей теоремы о четырех квадратах . Более конкретно, это означает, что достаточно доказать теорему для простых чисел , после чего следует более общая теорема. Вышеупомянутое соглашение о знаках соответствует знакам, полученным путем умножения двух кватернионов. Другие условные обозначения знаков можно получить, изменив любое к , и / или любой к .
Если а также являются действительными числами , тождество выражает тот факт, что абсолютное значение произведения двух кватернионов равно произведению их абсолютных значений, точно так же, как тождество двух квадратов Брахмагупты – Фибоначчи делает для комплексных чисел . Это свойство является определяющей чертой композиционных алгебр .
Теорема Гурвица утверждает, что тождество формы,
где являются билинейными функциями а также возможно только для n = 1, 2, 4 или 8.
Подтверждение личности с помощью кватернионов
Позволять а также быть парой кватернионов. Их кватернионными конъюгатами являются а также . потом
а также
- .
Продукт этих двух , где является действительным числом, поэтому может коммутировать с кватернионом , уступая
- .
Выше скобки не нужны, потому что кватернионы ассоциируются . Сопряжение продукта равно коммутируемому произведению конъюгатов факторов продукта, поэтому
где является продуктом Гамильтон из а также :
потом
а также
(Если где - скалярная часть и - векторная часть, то так )