В теории чисел , теорема Виноградова является результат , который подразумевает , что любое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел . Это более слабая форма слабой гипотезы Гольдбаха , которая подразумевает существование такого представления для всех нечетных целых чисел больше пяти. Он назван в честь Ивана Матвеевича Виноградова , доказавшего это в 1930-х годах. Харди и Литтлвуд ранее показали, что этот результат следует из обобщенной гипотезы Римана, и Виноградов смог опровергнуть это предположение. Полная формулировка теоремы Виноградова дает асимптотические оценки от количества представлений нечетного целого числа в виде суммы трех простых чисел.
Формулировка теоремы Виноградова.
Пусть A - положительное действительное число. потом
где
используя функцию фон Мангольдта , а также
Следствие
Если N нечетно, то G ( N ) примерно равно 1, поэтомудля всех достаточно больших N . Показав, что вклад в r ( N ) собственными степенями простых чисел равен, видно, что
Это, в частности, означает, что любое достаточно большое нечетное целое число может быть записано в виде суммы трех простых чисел, тем самым демонстрируя слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев, кроме конечного числа. В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех случаев.
Стратегия доказательства
Доказательство теоремы следует методу кругов Харди – Литтлвуда . Определите экспоненциальную сумму
- .
Тогда у нас есть
- ,
где обозначает количество представлений, ограниченных степенями простого числа . Следовательно
- .
Если рациональное число , тогда может быть задана распределением простых чисел в классах вычетов по модулю . Следовательно, используя теорему Зигеля-Вальфиса, мы можем вычислить вклад указанного выше интеграла в малых окрестностях рациональных точек с малым знаменателем. Множество действительных чисел, близких к таким рациональным точкам, обычно называют большими дугами, дополнение образует второстепенные дуги. Оказывается, эти интервалы доминируют в интеграле, поэтому для доказательства теоремы нужно дать оценку сверху для для содержится во второстепенных дугах. Эта оценка - самая трудная часть доказательства.
Если мы примем обобщенную гипотезу Римана , аргумент, используемый для больших дуг, может быть расширен до малых дуг. Это было сделано Харди и Литтлвудом в 1923 г. В 1937 г. Виноградов дал безусловную оценку сверху для. Его аргумент начался с простого ситового тождества, затем полученные термины были сложным образом перегруппированы, чтобы добиться некоторой отмены. В 1977 году Р. К. Воан нашел гораздо более простой аргумент, основанный на том, что позже стало известно как личность Воана . Он доказал, что если, тогда
- .
Используя теорему Зигеля-Вальфиса, мы можем иметь дело с до произвольных полномочий , используя аппроксимационную теорему Дирихле, получаемна второстепенных дугах. Следовательно, интеграл по малым дугам можно оценить сверху величиной
- ,
что дает член ошибки в теореме.
Рекомендации
- Виноградов, Иван Матвеевич (1954). Метод тригонометрических сумм в теории чисел . Переведено, отредактировано и аннотировано К.Ф. Ротом и Энн Давенпорт. Лондон и Нью-Йорк: Interscience. Руководство по ремонту 0062183 .
- Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел. Классические основы . Тексты для выпускников по математике. 164 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-3845-2 . ISBN 0-387-94656-X. Руководство по ремонту 1395371 . Глава 8.