Плотность Шнирельмана

В аддитивной теории чисел , то плотность последовательность из последовательности чисел является способом измерения , как «плотным» эта последовательность. Он назван в честь русского математика Льва Шнирельмана , который первым его изучил. ^{[1] [2]}

Определение [ править ]

Плотность Шнирельмана набора натуральных чисел A определяется как

${\ displaystyle \ sigma A = \ inf _ {n} {\ frac {A (n)} {n}},}$

где A ( n ) обозначает количество элементов A, не превышающее n, а inf - инфимум . ^[3]

Плотность Шнирельмана хорошо определена, даже если предел A ( n ) / n при n → ∞ не существует (см. Верхнюю и нижнюю асимптотику плотности ).

Свойства [ править ]

По определению, 0 ≤ ( п ) ≤ п и п сг A ≤ A ( п ) для всех п , и , следовательно , 0 ≤ сг ≤ 1 , а сг = 1 тогда и только тогда , когда A = N . Более того,

${\ displaystyle \ sigma A = 0 \ Rightarrow \ forall \ epsilon> 0 \ \ существует n \ A (n) <\ epsilon n.}$

Чувствительность [ править ]

Плотность Шнирельмана чувствительна к первым значениям набора:

${\ displaystyle \ forall k \ k \ notin A \ Rightarrow \ sigma A \ leq 1-1 / k}$.

Особенно,

${\ Displaystyle 1 \ notin A \ Rightarrow \ sigma A = 0}$

и

${\ displaystyle 2 \ notin A \ Rightarrow \ sigma A \ leq {\ frac {1} {2}}.}$

Следовательно, плотности Шнирельмана для четных и нечетных чисел, с которыми можно было бы согласиться, равны 0 и 1/2 соответственно. Как мы увидим, Шнирельманн и Юрий Линник использовали эту чувствительность.

Теоремы Шнирельмана [ править ]

Если мы положим , то теорему Лагранжа о четырех квадратах можно переформулировать как . (Здесь символ обозначает sumset из и .) Очевидно , что . Фактически, у нас все еще есть , и можно спросить, в какой момент сумма достигает плотности Шнирельмана 1 и как она увеличивается. На самом деле это так, и можно увидеть, что суммирование снова дает более обширный набор, а именно все из . Шнирельману удалось развить эти идеи в следующих теоремах, направленных на аддитивную теорию чисел, и доказать, что они являются новым ресурсом (если не очень мощным) для решения важных проблем, таких как проблема Варинга и${\ Displaystyle {\ mathfrak {G}} ^ {2} = \ {k ^ {2} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ sigma ({\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}} ^ {2} \ oplus {\ mathfrak {G}) }} ^ {2}) = 1}$${\displaystyle A\oplus B}$${\displaystyle A\cup \{0\}}$${\displaystyle B\cup \{0\}}$${\displaystyle \sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0}$${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0}$${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6}$${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$Гипотеза Гольдбаха .

Теорема. Позвольте и быть подмножествами . потом${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B.}$

Обратите внимание на это . Индуктивно мы имеем следующее обобщение.${\displaystyle \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B=1-(1-\sigma A)(1-\sigma B)}$

Следствие. Позвольте быть конечным семейством подмножеств . потом${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (\bigoplus _{i}A_{i})\geq 1-\prod _{i}(1-\sigma A_{i}).}$

Теорема дает первое представление о том, как накапливаются суммы. Кажется неудачным, что его вывод не показывает, что он супераддитивен . Тем не менее, Шнирельманн предоставил нам следующие результаты, которых было достаточно для большинства его целей.${\displaystyle \sigma }$

Теорема. Позвольте и быть подмножествами . Если , то${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \sigma A+\sigma B\geq 1}$

${\displaystyle A\oplus B=\mathbb {N} .}$

Теорема. ( Шнирельманн ) Пусть . Если тогда существует такое, что${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \sigma A>0}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{k}A=\mathbb {N} .}$

Аддитивные основы [ править ]

Подмножество со свойством конечной суммы называется аддитивным базисом , а наименьшее количество требуемых слагаемых называется степенью (иногда порядком ) базиса. Таким образом, последняя теорема утверждает, что любое множество с положительной плотностью Шнирельмана является аддитивным базисом. В этой терминологии набор квадратов является аддитивным базисом степени 4. (Об открытой проблеме для аддитивных базисов см. Гипотезу Эрдеша – Турана об аддитивных базисах .)${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$

Теорема Манна [ править ]

Исторически вышеприведенные теоремы были указателями на следующий результат, когда-то известный как гипотеза. Его использовал Эдмунд Ландау и окончательно доказал Генри Манн в 1942 году.${\displaystyle \alpha +\beta }$

Теорема. ( Манн 1942 ) Позвольте и быть подмножествами . В этом случае у нас все еще есть${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle A\oplus B\neq \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B.}$

Аналог этой теоремы для нижней асимптотической плотности был получен Кнезером. ^[4] Позднее Э. Артин и П. Шерк упростили доказательство теоремы Манна. ^[5]

Проблема Варинга [ править ]

Позвольте и быть натуральными числами. Пусть . Определим как количество неотрицательных целочисленных решений уравнения${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle r_{N}^{k}(n)}$

${\displaystyle x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n}$

и быть количеством неотрицательных интегральных решений неравенства${\displaystyle R_{N}^{k}(n)}$

${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,}$

в переменных соответственно. Итак . У нас есть${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)}$

• ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},}$
• ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.}$

Объем -мерного тела, определяемый как , ограничен объемом гиперкуба размера , следовательно . Сложнее всего показать, что эта граница в среднем работает, т. Е.${\displaystyle N}$${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n}$${\displaystyle n^{1/k}}$${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)\leq n^{N/k}}$

Лемма. ( Линник ) Для всех существует и константа , зависящая только от , например , что для всех ,${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle c=c(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}}$

для всех ${\displaystyle 0\leq m\leq n.}$

Имея это под рукой, можно элегантно доказать следующую теорему.

Теорема. Для всех существует для чего .${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0}$

Таким образом, мы установили общее решение проблемы Варинга:

Следствие. ( Гильберт 1909 ) Для всех существует , в зависимости только от , такое, что каждое положительное целое число может быть выражено как сумма не более многих -й степеней.${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$

Константа Шнирельмана [ править ]

В 1930 Шнирельман использовали эти идеи в сочетании с Brun сито , чтобы доказать теорему Шнирельман в , ^{[1] [2]} , что любое натуральное число больше 1 можно записать в виде суммы не более чем C простых чисел , где C является эффективно вычислимой константа: ^[6] Шнирельман получил C <800000. ^[7] Константа Шнирельмана - это наименьшее число C с этим свойством. ^[6]

Оливье Рамаре показал в ( Ramaré 1995 ), что константа Шнирельмана не превосходит 7, ^[6] улучшая предыдущую верхнюю оценку 19, полученную Хансом Ризелем и Р.К. Воганом .

Постоянная Шнирельмана не менее 3; Гипотеза Гольдбаха предполагает, что это фактическое значение константы. ^[6]

В 2013 году Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех нечетных чисел. Следовательно, постоянная Шнирельмана не превосходит 4. ^{[8] [9] [10] [11]}

Основные компоненты [ править ]

Хинчин доказал, что последовательность квадратов, хотя и с нулевой плотностью Шнирельмана, при добавлении к последовательности с плотностью Шнирельмана от 0 до 1 увеличивает плотность:

${\displaystyle \sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A){\text{ for }}0<\sigma (A)<1.}$

Вскоре это было упрощено и расширено Эрдешем , который показал, что если A - любая последовательность с плотностью Шнирельмана α, а B - аддитивный базис порядка k, то

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}\,,}$^[12]

и это было улучшено Plünnecke до

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha ^{1-{\frac {1}{k}}}\ .}$^[13]

Последовательности с этим свойством с увеличением плотности меньше единицы за счет сложения были названы Хинчиным существенными компонентами . Линник показал, что существенный компонент не обязательно должен быть аддитивным базисом ^[14], поскольку он построил существенный компонент, у которого x ^{o (1)} элементов меньше  x . Точнее, последовательность имеет

${\displaystyle e^{(\log x)^{c}}}$

элементов меньше чем x для некоторого c  <1. Это было улучшено Э. Вирсингом до

${\displaystyle e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}.}$

Какое-то время оставалась открытой проблема, сколько элементов должен иметь важный компонент. Наконец, Ружа определил, что существенный компонент имеет не менее (log  x ) ^c элементов до x , для некоторого c  > 1, и для каждого c  > 1 существует существенный компонент, который имеет не более (log  x ) ^c элементов до  х . ^[15]

Ссылки [ править ]

• Гильберт, Дэвид (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n ter Potenzen (Waringsches Problem)" . Mathematische Annalen . 67 (3): 281–300. DOI : 10.1007 / BF01450405 . ISSN  0025-5831 . Руководство по ремонту  1511530 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Шнирельманн, LG (1930). «Об аддитивных свойствах чисел». Анна. Inst. Политехн. Новочеркасск . 14 : 3–28. JFM  56.0892.02 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Шнирельманн, LG (1933). «Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen». Математика. Анна. (на немецком). 107 : 649–690. DOI : 10.1007 / BF01448914 . Zbl  0006.10402 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Манн, Генри Б. (1942). «Доказательство основной теоремы о плотности сумм множеств натуральных чисел». Анналы математики . Вторая серия. 43 (3): 523–527. DOI : 10.2307 / 1968807 . ISSN  0003-486X . JSTOR  1968807 . Руководство по ремонту  0006748 . Zbl  0061.07406 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Гельфонд, АО ; Линник, Ю. В. (1966). LJ Морделл (ред.). Элементарные методы аналитической теории чисел . Джордж Аллен и Анвин.
• Манн, Генри Б. (1976). Теоремы сложения: теоремы сложения теории групп и теории чисел (исправленное переиздание 1965 года, изд. Wiley). Хантингтон, Нью-Йорк: издательство Роберта Кригера . ISBN 978-0-88275-418-5. Руководство по ремонту  0424744 . Внешняя ссылка в |publisher=( помощь )CS1 maint: ref=harv (link)
• Натансон, Мелвин Б. (1990). «Наилучшие результаты по плотности сумм». У Берндта, Брюса К .; Diamond, Harold G .; Хальберштам, Хейни ; и другие. (ред.). Аналитическая теория чисел. Материалы конференции в честь Пола Т. Бейтмана, состоявшейся 25-27 апреля 1989 г. в Университете Иллинойса, Урбана, Иллинойс (США) . Успехи в математике. 85 . Бостон: Биркхойзер. С. 395–403. ISBN 978-0-8176-3481-0. Zbl  0722.11007 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Рамаре, О. (1995). "О постоянной Шнирельмана" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Серия IV . 22 (4): 645–706. Zbl  0851.11057 . Проверено 28 марта 2011 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы . Тексты для выпускников по математике . 164 . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl  0859.11002 .
• Натансон, Мелвин Б. (2000). Элементарные методы теории чисел . Тексты для выпускников по математике. 195 . Springer-Verlag . С. 359–367. ISBN 978-0-387-98912-9. Zbl  0953.11002 .
• Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-40026-6.CS1 maint: ref=harv (link) Имеет доказательство теоремы Манна и доказательство плотности Шнирельмана гипотезы Варинга.
• Артин, Эмиль; Щерк, П. (1943). «О суммах двух целых чисел». Анна. математики. 44 : 138–142. Cite journal requires |journal= (help)
• Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение . Тексты студентов Лондонского математического общества. 66 . Издательство Кембриджского университета . С. 100–105. ISBN 978-0-521-61275-3.
• Ружа, Имре З. (2009). «Суммы и структура». В Герольдингере, Альфред; Ружа, Имре З. (ред.). Комбинаторная теория чисел и аддитивная теория групп . Продвинутые курсы математики CRM Барселона. Elsholtz, C .; Freiman, G .; Хамидун, юноша; Hegyvári, N .; Károlyi, G .; Натансон, М .; Solymosi, J .; Станческу, Ю. С предисловием Хавьера Чиллеруэло, Марка Ноя и Ориола Серры (координаторов DocCourse). Базель: Биркхойзер. стр.  87 -210. ISBN 978-3-7643-8961-1. Zbl  1221.11026 .CS1 maint: ref=harv (link)