Суммы полномочий

В математике и статистике , суммы степеней происходят в ряде контекстов:

• Суммы квадратов возникают во многих контекстах. Например, в геометрии , то теорема Пифагора включает в себя сумму двух квадратов; в теории чисел , есть три квадратная теорема Лежандра и четыре квадратная теорема Якоби ; и в статистике , то дисперсионный анализ предполагает суммирование квадратов величин.
• Формула Фаульхабера выражается как многочлен от n или, альтернативно, через многочлен Бернулли .${\ displaystyle 1 ^ {k} + 2 ^ {k} + 3 ^ {k} + \ cdots + n ^ {k}}$
• Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике утверждает, что не существует решения в натуральных числах для${\ displaystyle a ^ {4} = b ^ {4} + c ^ {2}.}$
• Последняя теорема Ферма утверждает, что это невозможно в натуральных числах с k > 2.${\ displaystyle x ^ {k} + y ^ {k} = z ^ {k}}$
• Уравнение суперэллипса есть . Squircle случай .${\ Displaystyle | х / а | ^ {k} + | y ​​/ b | ^ {k} = 1}$${\ displaystyle k = 4, a = b}$
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней (опровергнутая) касается ситуаций, в которых сумма n целых чисел, каждое из которых является k- ^й степенью целого числа, равна другой k- ^й степени.
• Гипотеза Ферма-Каталонии спрашивает, существует ли бесконечное количество примеров, в которых сумма двух взаимно простых целых чисел, каждое из которых является степенью целого числа, причем степени не обязательно равны, может равняться другому целому числу, которое является степенью, с обратными величинами числа три степени в сумме меньше 1.
• Гипотеза Била касается вопроса о том, может ли сумма двух взаимно простых целых чисел, каждое из которых имеет степень больше 2 целого числа, при этом степени не обязательно равны, равняется другому целому числу, которое имеет степень больше 2.
• Уравнение Якоби-Раздражайте это в целых числах.${\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4} = (a + b + c + d) ^ {4}}$
• Задача Пруэ – Тарри – Эскотта рассматривает суммы двух наборов k- ^й степени целых чисел, которые равны для нескольких значений k .
• Номер такси - это наименьшее целое число, которое может быть выражено как сумма двух положительных третьих степеней n различными способами.
• Дзета - функция Римана является суммой обратных положительных целых чисел , каждая возведенное в степень с , где s представляет собой комплексное число, действительная часть больше 1.
• Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа касается минимального значения m + n в${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.}$
• Варинга проблема спрашивает , может ли для любого натурального числа к существует связанный с ним целое положительное число s такое , что каждое натуральное число является суммой не более Sk - ^й степеней натуральных чисел.
• Последовательные степени золотого сечения φ подчиняются повторению Фибоначчи:

${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$

• Тождества Ньютона выражают сумму k- ^й степени всех корней многочлена через коэффициенты многочлена.
• Сумма кубов чисел в арифметической прогрессии , иногда другой куб.
• Ферма кубическую , в котором сумма трех кубов равна другой куб, имеет общее решение.
• Сумма мощности симметричного полином является строительным блоком для симметричных полиномов.
• Сумма обратных всех совершенных полномочий , включая дубликаты (но не включая 1) равен 1.
• Предполагается, что уравнение Эрдеша – Мозера , где и - натуральные числа, не имеет других решений, кроме 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹ .${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$
• В суммах трех кубов не могут быть равны 4 или 5 по модулю 9, но неизвестно , могут ли быть выражены все остальные целые числа в этой форме.
• Суммы степеней S _m ( z , n ) = z ^m + ( z +1) ^m + ... + ( z + n −1) ^m связаны с полиномами Бернулли B _m ( z ) соотношением (∂ _n - ∂ _z ) S _m ( z , n ) = B _m ( z ) и (∂ _2λ −∂ _Z ) S _{2 k +1} ( z , n) = Ŝ ′ _{k +1} ( Z ), где Z = z ( z −1), λ = S ₁ ( z , n ), Ŝ _{k +1} ( Z ) ≡ S _{2 k +1} (0, z ). ^[1]
• сумма членов геометрического ряда равна${\displaystyle \sum _{k=i}^{n}z^{k}={\frac {z^{i}-z^{n+1}}{1-z}}}$

См. Также [ править ]

• Диофантово уравнение

Ссылки [ править ]

• Резник, Брюс и Роуз, Дж. «О суммах двух кубов» , Int. J. Теория чисел, 7 (2011), 1863–1882, MR2854220.