Уравнение Якоби – Мэддена - это диофантово уравнение
предложенный физиком Ли В. Якоби и математиком Дэниелом Дж. Мэдденом в 2008 году. [1] [2] Переменные a , b , c и d могут быть любыми целыми числами , положительными, отрицательными или 0. [a] Якоби и Мэдден показал, что существует бесконечное множество решений этого уравнения со всеми ненулевыми переменными.
История
Уравнение Якоби – Мэддена представляет собой частный случай уравнения
впервые предложен в 1772 году Леонардом Эйлером, который предположил, что четыре - это минимальное число (больше единицы) четвертых степеней ненулевых целых чисел, которые могут быть суммированы до другой четвертой степени. Эта гипотеза, теперь известная как гипотеза Эйлера о сумме степеней , была естественным обобщением Великой теоремы Ферма , последняя была доказана для четвертой степени самим Пьером де Ферма .
Ноам Элкис был первым, кто нашел бесконечную серию решений уравнения Эйлера с ровно одной переменной, равной нулю, тем самым опровергнув гипотезу Эйлера о сумме степеней для четвертой степени. [3]
Однако до публикации Якоби и Мэддена не было известно, существует ли бесконечно много решений уравнения Эйлера со всеми ненулевыми переменными. Было известно лишь конечное число таких решений. [4] [5] Одно из этих решений, обнаруженное Симхой Брудно в 1964 году, [6] дало решение уравнения Якоби – Мэддена:
Подход
Якоби и Мэдден начали с того,
и личность,
Добавление к обеим сторонам уравнения,
видно, что это особая тройка Пифагора ,
Затем они использовали решение Брудно и некоторую эллиптическую кривую, чтобы построить бесконечную серию решений уравнения Якоби – Мэддена.
Другие начальные решения
Якоби и Мэдден заметили, что другое начальное значение, например
найденный Ярославом Вроблевским, [5] приведет к другой бесконечной серии решений. [7]
В августе 2015 года Сейджи Томита объявил о двух новых малых решениях уравнения Якоби – Мэддена: [8]
которые приводят к двум новым сериям решений, построенных методом Якоби и Мэддена.
Смотрите также
- Гипотеза Била
- Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта
- Номер такси
- Пифагорейская четверка
- Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа
- Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем
Рекомендации
- ^ Якоби, Ли У .; Мэдден, Дэниел Дж. (2008). "На.» American Mathematical Monthly . 115 (3): 220-236. DOI : 10,1080 / 00029890.2008.11920519 . JSTOR 27642446 .
- ^ Математики находят новые решения древней головоломки
- ^ Ноам Элкис (1988). «На A 4 + B 4 + C 4 = D 4 ». Математика вычислений . 51 (184): 825–835. DOI : 10.2307 / 2008781 . JSTOR 2008781 . Руководство по ремонту 0930224 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Диофантово уравнение – 4 степени" . MathWorld .
- ^ a b Ярослав Вроблевский База данных решений уравнения Эйлера
- ^ Симха Брудно (1964). «Еще один пример A 4 + B 4 + C 4 + D 4 = E 4 ». Математические труды Кембриджского философского общества . 60 (4): 1027–1028. DOI : 10.1017 / S0305004100038470 . Руководство по ремонту 0166151 .
- ^ Сэйдзи Томита, Решения a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + d ^ 4 = (a + b + c + d) ^ 4 , 2010.
- ^ Сейджи Томита, Новые решения a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + d ^ 4 = (a + b + c + d) ^ 4 , 2015.
Заметки
- ^ Фактически, любое нетривиальное решение должно включать как положительное, так и отрицательное значение.