В математике , то п - е число такси , как правило , обозначается Та ( п ) или такси ( п ), называемый также п - й Харди-Рамануджана числа , определяется как наименьшее целое число , которое может быть выражено в виде суммы двух положительных целых кубов в n различных способов. Самый известный номер такси - 1729 = Ta (2) = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 .
Название происходит от разговора примерно в 1919 году с участием математиков Г. Х. Харди и Шринивасы Рамануджана . Как сказал Харди:
Я помню, как однажды я пошел к нему [Рамануджану], когда он лежал больным в Путни . Я ехал в такси № 1729 и заметил, что номер кажется довольно скучным, и что я надеюсь, что это не плохой знак. «Нет, - ответил он, - это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух [положительных] кубиков двумя разными способами». [1] [2]
История и определение
Впервые эта концепция была упомянута в 1657 году Бернаром Френиклем де Бесси , который опубликовал число Харди – Рамануджана Ta (2) = 1729. Этот конкретный пример 1729 года стал известен в начале 20 века благодаря рассказу о Шринивасе Рамануджане . В 1938 году Г. Х. Харди и Е. М. Райт доказали, что такие числа существуют для всех натуральных чисел n , и их доказательство легко превращается в программу для генерации таких чисел. Однако доказательство не делает никаких заявлений о том, являются ли сгенерированные таким образом числа минимально возможными и, следовательно, его нельзя использовать для нахождения фактического значения Ta ( n ).
Номера такси после 1729 года были найдены с помощью компьютеров. Джон Лич получил Ta (3) в 1957 году. Э. Розенштиль, Дж. А. Дардис и CR Rosenstiel обнаружили Ta (4) в 1989 году. [3] Дж. А. Дардис обнаружил Ta (5) в 1994 году, и это было подтверждено Дэвидом Уилсоном в 1999 году. . [4] [5] Ta (6) был объявлен Уве Холлербахом в списке рассылки NMBRTHRY 9 марта 2008 г. [6] после публикации Calude et al. В 2003 г. это давало 99% -ную вероятность того, что это число действительно было Ta (6). [7] Верхние границы для Ta (7) - Ta (12) были найдены Кристианом Бойером в 2006 году. [8]
Ограничение слагаемых положительными числами необходимо, потому что разрешение отрицательных чисел позволяет использовать больше (и меньше) экземпляров чисел, которые могут быть выражены как суммы кубов n различными способами. Понятие номера кабтакси было введено, чтобы учесть альтернативные, менее строгие определения этого характера. В некотором смысле определение двух слагаемых и степеней трех также является ограничительным; обобщенный номер таксомотор позволяет эти значения , чтобы быть иными , чем два и три соответственно.
Известные номера такси
На данный момент известны следующие 6 номеров такси:
Верхние границы номеров такси
Для следующих номеров такси известны верхние границы:
Номера такси Cubefree
Более ограниченная задача такси требует, чтобы номер такси был свободным от куба, что означает, что он не делится ни на какой куб, кроме 1 3 . Когда номер T такси без кубов записывается как T = x 3 + y 3 , числа x и y должны быть взаимно простыми. Среди перечисленных выше номеров такси Ta (n) только Ta (1) и Ta (2) являются номерами такси без кубов. Наименьший номер такси без куба с тремя изображениями был обнаружен Полом Войтой (неопубликовано) в 1981 году, когда он был аспирантом. это
- 15170835645
- = 517 3 + 2468 3
- = 709 3 + 2456 3
- = 1733 3 + 2152 3 .
Наименьший номер такси без куба с четырьмя изображениями был обнаружен Стюартом Гаскойном и независимо Дунканом Муром в 2003 году.
- 1801049058342701083
- = 92227 3 + 1216500 3
- = 136635 3 + 1216102 3
- = 341995 3 + 1207602 3
- = 600259 3 + 1165884 3
Смотрите также
Заметки
- ↑ Цитаты Г. Х. Харди, MacTutor History of Mathematics, Архивировано 16 июля 2012 г. в Wayback Machine
- ^ Сильверман, Джозеф Х. (1993). «Такси и суммы двух кубов» . Амер. Математика. Ежемесячно . 100 (4): 331–340. DOI : 10.2307 / 2324954 . JSTOR 2324954 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Колонка подсчета чисел, Мир персональных компьютеров, страница 234, ноябрь 1989 г.
- ^ Числа графа столбец Personal Computer World, стр 610, февраль 1995 года
- ^ "Пятый номер такси 48988659276962496" Дэвид Уилсон
- ^ Архивы NMBRTHRY - март 2008 г. (№ 10) «Шестой номер такси - 24153319581254312065344» Уве Холлербаха.
- ^ CS Calude, Е. Calude и MJ Dinneen: Что такое значение таксомотора (6) ?, Журнал Универсального информатики , Vol. 9 (2003), стр. 1196–1203
- ^ «Новые верхние границы для номеров такси и такси» Кристиан Бойер, Франция, 2006–2008 гг.
Рекомендации
- Харди и Э. М. Райт, Введение в теорию чисел , 3-е изд., Oxford University Press, Лондон и Нью-Йорк, 1954, Thm. 412.
- Дж. Лич, Некоторые решения диофантовых уравнений , Proc. Camb. Фил. Soc. 53, 778–780, 1957.
- E. Rosenstiel, JA Dardis и CR Rosenstiel, Четыре наименьших решения в различных положительных целых числах диофантовых уравнений = x 3 + y 3 = z 3 + w 3 = u 3 + v 3 = m 3 + n 3 , Bull. Inst. Математика. Прил. , 27 (1991) 155–157; МИСТЕР1125858 , онлайн .
- Дэвид Уилсон, Пятый номер такси - 48988659276962496 , Journal of Integer Sequences , Vol. 2 (1999), онлайн . (Уилсон не знал о предыдущем открытии Та (5) Дж. А. Дардисом в 1994 году, когда писал это.)
- DJ Bernstein, Перечисление решений p (a) + q (b) = r (c) + s (d) , Математика вычислений 70, 233 (2000), 389–394.
- К. С. Калуд, Э. Калуд и М. Дж. Диннин: В чем ценность Taxicab (6)? , Journal of Universal Computer Science , Vol. 9 (2003), стр. 1196–1203
Внешние ссылки
- Сообщение Рэндалла Л. Рэтбана в списке рассылки теории чисел в 2002 г.
- Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. Харан, Брэди (ред.). 1729: номер такси или номер Харди-Рамануджана . Numberphile.
- Такси и другая математика в Эйлере
- Сингх, Саймон . Харан, Брэди (ред.). «Номера такси в Футураме» . Numberphile. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )