В математике , то проблема Пруэ-Тарри-Эскотт просит два непересекающихся мультимножеств A и B из п целых чисел в каждом, у которых первое к сумме мощности симметрических многочленов все равны. То есть два мультимножества должны удовлетворять уравнениям
для каждого целого числа i от 1 до данного k . Было показано, что n должно быть строго больше k . Решения сназываются идеальными решениями . Идеальные решения известны и для . Нет идеального решения для или для . [1]
Эта проблема была названа в честь Эжена Пруэ , изучавшего ее в начале 1850-х годов, и Гастона Тарри и Эдварда Б. Эскотта, изучавших ее в начале 1910-х годов. Проблема восходит к письмам Кристиана Гольдбаха и Леонарда Эйлера (1750/1751).
Примеры
- Идеальные решения
Идеальное решение для n = 6 дается двумя наборами {0, 5, 6, 16, 17, 22} и {1, 2, 10, 12, 20, 21}, потому что:
- 0 1 + 5 1 + 6 1 + 16 1 + 17 1 + 22 1 = 1 1 + 2 1 + 10 1 + 12 1 + 20 1 + 21 1
- 0 2 + 5 2 + 6 2 + 16 2 + 17 2 + 22 2 = 1 2 + 2 2 + 10 2 + 12 2 + 20 2 + 21 2
- 0 3 + 5 3 + 6 3 + 16 3 + 17 3 + 22 3 = 1 3 + 2 3 + 10 3 + 12 3 + 20 3 + 21 3
- 0 4 + 5 4 + 6 4 + 16 4 + 17 4 + 22 4 = 1 4 + 2 4 + 10 4 + 12 4 + 20 4 + 21 4
- 0 5 + 5 5 + 6 5 + 16 5 + 17 5 + 22 5 = 1 5 + 2 5 + 10 5 + 12 5 + 20 5 + 21 5 .
Для n = 12 идеальное решение дается формулами A = {± 22, ± 61, ± 86, ± 127, ± 140, ± 151} и B = {± 35, ± 47, ± 94, ± 121, ± 146. , ± 148}. [2]
- Другие решения
Пруэ использовал последовательность Туэ – Морса, чтобы построить решение с для любой . А именно, разделите числа от 0 дов злые числа и одиозные числа ; тогда два набора перегородки дают решение проблемы. [3] Например, для а также , Решение Пруэ:
- 0 1 + 3 1 + 5 1 + 6 1 + 9 1 + 10 1 + 12 1 + 15 1 = 1 1 + 2 1 + 4 1 + 7 1 + 8 1 + 11 1 + 13 1 + 14 1
- 0 2 + 3 2 + 5 2 + 6 2 + 9 2 + 10 2 + 12 2 + 15 2 = 1 2 + 2 2 + 4 2 + 7 2 + 8 2 + 11 2 + 13 2 + 14 2
- 0 3 + 3 3 + 5 3 + 6 3 + 9 3 + 10 3 + 12 3 + 15 3 = 1 3 + 2 3 + 4 3 + 7 3 + 8 3 + 11 3 + 13 3 + 14 3 .
Обобщения
Версия проблемы Пруэ – Тарри – Эскотта с более высокой размерностью была представлена и изучена Андреасом Альперсом и Робертом Тийдеманом в 2007 г .: Данные параметры, найдите два разных набора , очков от такой, что
для всех с участием Эта проблема связана с дискретной томографией, а также приводит к специальным решениям Пруэ-Тарри-Эскотта над целыми гауссовыми числами (хотя решения проблемы Альперса-Тийдемана не исчерпывают гауссовские целочисленные решения Пруэ-Тарри-Эскотта).
Решение для а также дается, например:
- а также
- .
Нет решений для с участием известны.
Смотрите также
Заметки
- ^ Borwein 2002 , стр. 85.
- ^ Решение найдено Nuutti Kuosa, Жан-Шарль Meyrignac и Чэнь Shuwen, в 1999 году .
- ^ Райт, Е. М. (1959), "1851 решение Пруэ о проблеме Tarry-Эскотт 1910", Американский Математический Месячный , 66 : 199-201, DOI : 10,2307 / 2309513 , MR 0104622.
Рекомендации
- Борвейн, Питер Б. (2002), «Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта», Computational Excursions in Analysis and Number Theory , CMS Books in Mathematics, Springer-Verlag , pp. 85–96, ISBN 0-387-95444-9, получено 16.06.2009 Глава 11.
- Альперс, Андреас ; Роб Tijdeman (2007), "The Two-Dimensional Пруэ-Tarry-Эскотт Проблема" (PDF) , Журнал теории чисел , 123 (2): 403-412, DOI : 10.1016 / j.jnt.2006.07.001 , извлекаться 2015 -04-01.