Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа

Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа касается целочисленных решений уравнений, содержащих суммы одинаковых степеней. Уравнения являются обобщением тех, которые рассматриваются в Великой теореме Ферма . Гипотеза состоит в том, что если сумма некоторых k -й степеней равна сумме некоторых других k -й степеней, то общее количество членов в обеих суммах вместе должно быть не менее k .

Фон

Диофантовы уравнения , такие как целочисленная версия уравнения a ² + b ² = c ² , фигурирующая в теореме Пифагора , веками изучались на предмет свойств их целочисленных решений . Последняя теорема Ферма утверждает, что для степеней больше 2 уравнение a ^k + b ^k = c ^k не имеет решений в ненулевых целых числах a , b , c . Увеличение количества сроковна одной или обеих сторонах и с учетом более высоких степеней, чем 2, привело к тому, что Леонард Эйлер в 1769 году предложил, что для всех целых чисел n и k больше 1, если сумма n k- й степени положительных целых чисел сама является k- й степенью , то n больше или равно k .

В символах, если где n > 1 и - натуральные числа, то его гипотеза заключалась в том, что n ≥ k .${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}, b}$

В 1966 году Леон Дж. Ландер и Томас Р. Паркин нашли контрпример к гипотезе Эйлера о сумме степеней для k = 5: ^[1]

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ .

В последующие годы были найдены и другие контрпримеры , в том числе для k = 4. Последний опроверг более конкретную гипотезу Эйлера квартики , а именно, что a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ = d ⁴ не имеет положительных целочисленных решений. Фактически, наименьшее решение, найденное в 1988 году, - это

414560 ⁴ + 217519 ⁴ + 95800 ⁴ = 422481 ⁴ .

Гипотеза

В 1967 году LJ Lander, TR Parkin и John Selfridge предположили ^[2], что если , где a _i  ≠  b _j - натуральные числа для всех 1 ≤  i  ≤  n и 1 ≤  j  ≤  m , то m + n  ≥  k . Формула равной суммы одинаковых мощностей часто обозначается сокращенно ( k ,  m ,  n ).${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} ^ {k}}$

Небольшие примеры (связанные с общим номером такси ) включают (известные Эйлеру) и (найденные К. Субба Рао в 1934 году).${\ displaystyle m = n = {\ frac {k} {2}}}$${\ displaystyle 59 ^ {4} + 158 ^ {4} = 133 ^ {4} + 134 ^ {4}}$${\ displaystyle 3 ^ {6} + 19 ^ {6} + 22 ^ {6} = 10 ^ {6} + 15 ^ {6} + 23 ^ {6}}$

В частном случае m = 1 из гипотезы следует, что если

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$

(в условиях, указанных выше), то n  ≥  k  - 1.

Для этого частного случая m  = 1 некоторые из известных решений, удовлетворяющих предложенному ограничению с n  ≤  k , где члены являются положительными целыми числами , что дает разделение степени на одинаковые степени, следующие: ^[3]

k = 3

3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ .

к = 4

95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ , (Роджер Фрай, 1988)

30 ⁴ + 120 ⁴ + 272 ⁴ + 315 ⁴ = 353 ⁴ , (Р. Норри, 1911)

Последняя теорема Ферма утверждает, что для k = 4 гипотеза верна.

k = 5

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ , (Лендер, Паркин, 1966)

7 ⁵ + 43 ⁵ + 57 ⁵ + 80 ⁵ + 100 ⁵ = 107 ⁵ , (Састри, 1934, третий по величине)

к = 6

(Неизвестно. По состоянию на 2002 год не было решений с окончательным членом ≤ 730000. ^[4] )

к = 7

127 ⁷ + 258 ⁷ + 266 ⁷ + 413 ⁷ + 430 ⁷ + 439 ⁷ + 525 ⁷ = 568 ⁷ , (M. Dodrill, 1999)

k = 8

90 ⁸ + 223 ⁸ + 478 ⁸ + 524 ⁸ + 748 ⁸ + 1088 ⁸ + 1190 ⁸ + 1324 ⁸ = 1409 ⁸ , (Скотт Чейз, 2000)

k ≥ 9

(Никто не известен.)

Текущее состояние

Неизвестно, верна ли гипотеза или существуют решения, которые были бы контрпримерами, например, a ^k + b ^k = c ^k + d ^k для k  ≥ 5.

Смотрите также

• Гипотеза Била
• Гипотеза Ферма – Каталонии
• Уравнение Якоби – Мэддена
• Список нерешенных задач по математике
• Экспериментальная математика (контрпримеры к гипотезе Эйлера о сумме степеней, особенно наименьшее решение для k = 4)
• Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта
• Пифагорейская четверка
• Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем

Рекомендации

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Проблемные книги по математике (3-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . D1. ISBN 0-387-20860-7. Zbl  1058.11001 .

внешняя ссылка

• EulerNet: вычисление минимальных равных сумм одинаковых степеней
• Ярослав Вроблевский Равные суммы одинаковых сил
• Тито Пьезас III: собрание алгебраических тождеств
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 5-я степень» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - шестая степень» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 7-я степень» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 8-ые степени» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Эйлера о сумме степеней" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Эйлера квартики" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик У. "Диофантово уравнение - 4 степени" . MathWorld .
• Гипотеза Эйлера на library.thinkquest.org
• Простое объяснение гипотезы Эйлера в математике вам подойдет!
• Математики находят новые решения древней головоломки
• Эд Пегг мл. Power Sums , Math Games