Пифагора четверка является кортеж из целых чисел через , Ь , с и д , таким образом, что через 2 + Ь 2 + C 2 = d 2 . Они являются решениями диофантова уравнения, и часто рассматриваются только положительные целые числа. [1] Однако, чтобы обеспечить более полную геометрическую интерпретацию, целочисленные значения могут быть отрицательными и нулевыми (что позволяет включать пифагоровы тройки ) с единственным условием, что d > 0. В этом случае четверка Пифагора ( a , b , c , d ) определяет кубоид с целыми длинами сторон | а | , | б | , и | c | , пространственная диагональ которого имеет целую длину d ; при такой интерпретации пифагорейские четверки также называются пифагорейскими коробками . [2] В этой статье мы будем предполагать, если не указано иное, что все значения пифагоровой четверки являются целыми положительными числами.
Параметризация примитивных четверок
Четверка Пифагора называется примитивной, если наибольший общий делитель ее элементов равен 1. Каждая четверка Пифагора является целым числом, кратным примитивной четверке. Множество примитивных пифагорейских четверок , для которых нечетно может быть получено по формулам
где m , n , p , q - неотрицательные целые числа с наибольшим общим делителем 1 такие, что m + n + p + q нечетно. [3] [4] [1] Таким образом, все примитивные пифагоровы четверки характеризуются тождеством Лебега [ требуется пояснение ]
Альтернативная параметризация
Все пифагоровы четверки (включая непримитивные и с повторением, хотя a , b и c не появляются во всех возможных порядках) могут быть сгенерированы из двух положительных целых чисел a и b следующим образом:
Если a и b имеют разную четность , пусть p будет любым множителем a 2 + b 2, таким что p 2 < a 2 + b 2 . Тогда c =а 2 + б 2 - п 2/2 шт.и d = а 2 + б 2 + р 2/2 шт.. Обратите внимание, что p = d - c .
Аналогичный метод существует [5] для генерации всех четверок Пифагора, для которых a и b оба четны. Пусть l = а/2и m = б/2и пусть n будет множителем l 2 + m 2, таким что n 2 < l 2 + m 2 . Тогда c = л 2 + м 2 - п 2/пи d = л 2 + м 2 + п 2/п. Этот метод генерирует все четверки Пифагора ровно один раз каждая, когда l и m пробегают все пары натуральных чисел, а n пробегают все допустимые значения для каждой пары.
Такого метода не существует, если и a, и b нечетны, и в этом случае решений не существует, как видно из параметризации в предыдущем разделе.
Характеристики
Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно 12. [6] Четверка с минимальным произведением - это (1, 2, 2, 3).
Связь с кватернионами и рациональными ортогональными матрицами
Примитивный Пифагор четверка ( , Ь , с , д ) параметризованного по ( т , п , р , д ) соответствует первому столбцу в матричном представлении Е ( & alpha ; ) из сопряжения & alpha ; (⋅) & alpha ; по кватерниону Гурвицы α = т + п + р ^ + дк ограничивается на подпространство ℍ , натянутое на I , J , K , которая задается
где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d . Кроме того, у нас есть1/dE ( α ) ∈ SO (3, ℚ) , и фактически все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональными коэффициентами возникают таким образом. [7]
Примитивные пифагоровы четверки с малой нормой
Существует 31 примитивная четверка Пифагора, в которой все элементы меньше 30.
( | 1 | , | 2 | , | 2 | , | 3 | ) | ( | 2 | , | 10 | , | 11 | , | 15 | ) | ( | 4 | , | 13 | , | 16 | , | 21 год | ) | ( | 2 | , | 10 | , | 25 | , | 27 | ) |
( | 2 | , | 3 | , | 6 | , | 7 | ) | ( | 1 | , | 12 | , | 12 | , | 17 | ) | ( | 8 | , | 11 | , | 16 | , | 21 год | ) | ( | 2 | , | 14 | , | 23 | , | 27 | ) |
( | 1 | , | 4 | , | 8 | , | 9 | ) | ( | 8 | , | 9 | , | 12 | , | 17 | ) | ( | 3 | , | 6 | , | 22 | , | 23 | ) | ( | 7 | , | 14 | , | 22 | , | 27 | ) |
( | 4 | , | 4 | , | 7 | , | 9 | ) | ( | 1 | , | 6 | , | 18 | , | 19 | ) | ( | 3 | , | 14 | , | 18 | , | 23 | ) | ( | 10 | , | 10 | , | 23 | , | 27 | ) |
( | 2 | , | 6 | , | 9 | , | 11 | ) | ( | 6 | , | 6 | , | 17 | , | 19 | ) | ( | 6 | , | 13 | , | 18 | , | 23 | ) | ( | 3 | , | 16 | , | 24 | , | 29 | ) |
( | 6 | , | 6 | , | 7 | , | 11 | ) | ( | 6 | , | 10 | , | 15 | , | 19 | ) | ( | 9 | , | 12 | , | 20 | , | 25 | ) | ( | 11 | , | 12 | , | 24 | , | 29 | ) |
( | 3 | , | 4 | , | 12 | , | 13 | ) | ( | 4 | , | 5 | , | 20 | , | 21 год | ) | ( | 12 | , | 15 | , | 16 | , | 25 | ) | ( | 12 | , | 16 | , | 21 год | , | 29 | ) |
( | 2 | , | 5 | , | 14 | , | 15 | ) | ( | 4 | , | 8 | , | 19 | , | 21 год | ) | ( | 2 | , | 7 | , | 26 год | , | 27 | ) |
Смотрите также
- Гипотеза Била
- Кирпич Эйлера
- Гипотеза Эйлера о сумме степеней
- Формула Эйлера-Родрига для трехмерных вращений
- Ферма кубический
- Уравнение Якоби – Мэддена
- Теорема Лагранжа о четырех квадратах (каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырех целых квадратов)
- Теорема Лежандра о трех квадратах (натуральные числа не могут быть представлены как сумма трех квадратов целых чисел)
- Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта
- Кватернионы и пространственное вращение
- Номер такси
Рекомендации
- ^ a b Р. Спира, Диофантово уравнение x 2 + y 2 + z 2 = m 2 , Amer. Математика. Ежемесячный объем. 69 (1962), № 5, 360–365.
- ^ RA Beauregard и ER Suryanarayan, Пифагорейские коробки , Math. Журнал 74 (2001), 222–227.
- ^ RD Кармайкл, Диофантова анализ , New York: John Wiley & Sons, 1915.
- ^ LE Диксон, Некоторые отношения между теорией чисел и другими разделами математики , в Вилья (Анри), изд., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès International des mathématiciens, Страсбург, Тулуза, 1921, стр. 41–56; репринт Нендельн / Лихтенштейн: Kraus Reprint Limited, 1967; Собрание сочинений 2. С. 579–594.
- ^ Серпинского, Wacław , Пифагора Треугольники , Dover, 2003 (ориг. 1962), p.102-103.
- ^ MacHale, Дез, и ван ден Бош, христианин, «Обобщая результат о пифагорейских троек», Математическая газета 96, март 2012, стр. 91-96.
- ↑ J. Cremona, Письмо в редакцию , Amer. Математика. Ежемесячно 94 (1987), 757–758.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Четверка Пифагора» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Лебеговая идентичность» . MathWorld .
- Кармайкл. Диофантовый анализ в Project Gutenberg