В математике , Roth это теорема является основным результатом в диофантовом приближении к алгебраическим числам . Это качественный тип, утверждающий, что алгебраические числа не могут иметь много «очень хороших» приближений рациональных чисел . За полвека значение слова очень хорошо здесь было уточнено рядом математиков, начиная с Джозефа Лиувилля в 1844 году и продолжая работы Акселя Туэ ( 1909 ), Карла Людвига Сигеля ( 1921 ), Фримена Дайсона ( 1947 ) и Клаус Рот (1955 г. ).
Заявление
Теорема Рота утверждает, что каждое иррациональное алгебраическое числоимеет показатель аппроксимации, равный 2. Это означает, что для каждого, неравенство
может иметь только конечное число решений в взаимно простых целых числах а также . Доказательство этого факта Ротом разрешило гипотезу Сигеля. Отсюда следует, что любое иррациональное алгебраическое число α удовлетворяет
с участием положительное число, зависящее только от а также .
Обсуждение
Первым результатом в этом направлении является теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел, которая дает показатель приближения d для алгебраического числа α степени d ≥ 2. Этого уже достаточно, чтобы продемонстрировать существование трансцендентных чисел . Туэ понял, что показатель меньше d будет иметь приложения к решению диофантовых уравнений, и в теореме Туэ 1909 года установил показатель степени. Теорема Зигеля улучшает это до показателя порядка 2 √ d , а теорема Дайсона 1947 года имеет показатель порядка √ 2 d .
Результат Рота с показателем степени 2 в некотором смысле является наилучшим из возможных, потому что это утверждение не сработает при установке : по теореме Дирихле о диофантовом приближении решений в этом случае бесконечно много. Однако существует более сильная гипотеза Сержа Ланга о том, что
может иметь только конечное число решений в целых числах p и q . Если позволить α пробегать весь набор действительных чисел, а не только алгебраические действительные числа, то и вывод Рота, и вывод Лэнга верны почти для всех . Таким образом, и теорема, и гипотеза утверждают, что некоторое счетное множество пропускает определенное множество с нулевой мерой. [1]
Теорема в настоящее время не действует : то есть не известна граница возможных значений p , q, заданных. [2] Давенпорт и Рот (1955) показали, что методы Рота могут быть использованы для получения эффективной оценки числа p / q, удовлетворяющих неравенству, с использованием принципа «разрыва». [2] Тот факт, что мы на самом деле не знаем C (ε), означает, что проект решения уравнения или ограничения размера решений недостижим.
Техника доказательства
Техника доказательства включает построение вспомогательного многомерного полинома от сколь угодно большого числа переменных, зависящих от, что приводит к противоречию при наличии слишком большого количества хороших приближений. Более конкретно, можно найти определенное количество рациональных приближений к рассматриваемому иррациональному алгебраическому числу, а затем применить функцию к каждому из них одновременно (т.е. каждое из этих рациональных чисел служит входом для уникальной переменной в выражении, определяющем нашу функцию ). По своей природе он был неэффективным (см. Эффективные результаты в теории чисел ); это представляет особый интерес, поскольку основное применение результатов этого типа состоит в том, чтобы ограничить число решений некоторых диофантовых уравнений .
Обобщения
Существует многомерная версия основного результата - теорема Шмидта о подпространстве . Существует также многочисленные расширения, например , с использованием р-адической метрики , [3] , основанной на методе Roth.
Уильям Дж. Левек обобщил результат, показав, что аналогичная оценка выполняется, когда аппроксимирующие числа берутся из фиксированного поля алгебраических чисел . Определим высоту H (ξ) алгебраического числа ξ как максимум абсолютных значений коэффициентов его минимального многочлена . Зафиксируем κ> 2. Для данного алгебраического числа α и поля алгебраических чисел K уравнение
имеет лишь конечное число решений в элементах £ из K . [4]
Смотрите также
Заметки
- ^ Это также тесно связано с гипотезой Манина – Мамфорда .
- ^ a b Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение . Тексты для выпускников по математике . 201 . С. 344–345. ISBN 0-387-98981-1.
- ^ Ридаут, Д. (1958). « P -адическое обобщение теоремы Туэ – Зигеля – Рота». Математика . 5 : 40–48. DOI : 10.1112 / s0025579300001339 . Zbl 0085.03501 .
- ^ Левек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Разделы теории чисел, тома I и II . Нью-Йорк: Dover Publications. С. II: 148–152 . ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .
Рекомендации
- Давенпорт, Х .; Рот, Клаус Фридрих (1955), «Рациональные приближения к алгебраическим числам», Mathematika , 2 : 160–167, DOI : 10.1112 / S0025579300000814 , ISSN 0025-5793 , MR 0077577 , Zbl 0066.29302
- Дайсон, Freeman J. (1947), "Приближение к алгебраических чисел рациональных чисел", Acta Mathematica , 79 : 225-240, DOI : 10.1007 / BF02404697 , ISSN 0001-5962 , МР 0023854 , Zbl +0030,02101
- Рот, Клаус Фридрих (1955), "Рациональные приближения к алгебраическим числам", Mathematika , 2 : 1–20, 168, DOI : 10.1112 / S0025579300000644 , ISSN 0025-5793 , MR 0072182 , Zbl 0064.28501
- Вольфганг М. Шмидт (1996) [1980]. «Диофантово приближение». Конспект лекций по математике . 785 . Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-540-38645-2 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - Вольфганг М. Шмидт (1991). «Диофантовы приближения и диофантовы уравнения». Конспект лекций по математике . 1467 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / BFb0098246 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - Siegel, Карл Людвиг (1921), "Приближение algebraischer Zahlen" (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 10 (3): 173-213, DOI : 10.1007 / BF01211608 , ISSN 0025-5874 , МР 1544471
- Туэ-, А. (1909), "Убер Annäherungswerte algebraischer Zahlen" , Журнал für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik , 135 : 284-305, DOI : 10,1515 / crll.1909.135.284 , ISSN 0075-4102
дальнейшее чтение
- Бейкер, Алан (1975). Теория трансцендентных чисел . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-20461-5. Zbl 0297.10013 .
- Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. 9 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004 .
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения ценностей . Конспект лекций по математике. 1239 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-17551-2. Zbl 0609.14011 .