В теории чисел , теорема дила , названная в честь Карлы Штёрмер , дает конечный предел по числу последовательных пар гладких чисел , которые существуют для данной степени гладкости, а также предоставляет метод для нахождения всех таких пар , используя уравнения Пелла . Из теоремы Туэ – Зигеля – Рота следует, что существует только конечное число пар этого типа, но Стёрмер дал процедуру для нахождения их всех. [1]
Заявление
Если выбрать конечное множество из простых чисел , то P -гладкого число определяется как множество целых чисел
которые могут быть получены с помощью продуктов чисел в P . Тогда теорема Стёрмера утверждает, что для любого выбора P существует только конечное число пар последовательных P -гладких чисел. Кроме того, он дает метод нахождения их всех с помощью уравнений Пелла.
Процедура
Первоначальная процедура Стёрмера включает решение набора примерно из 3 k уравнений Пелла , в каждом из которых находят только наименьшее решение. Упрощенный вариант процедуры, из - за DH Лехмер , [2] описан ниже; он решает меньше уравнений, но находит больше решений в каждом уравнении.
Пусть P будет дано множество простых чисел, и определить число будет P - гладкая , если все его простые множители принадлежат P . Предположим, что p 1 = 2; в противном случае не могло бы быть последовательных P- гладких чисел, потому что все P- гладкие числа были бы нечетными. Метод Лемера предполагает решение уравнения Пелла
для каждого P -гладкого числа q без квадратов, отличного от 2. Каждое такое число q генерируется как произведение подмножества P , поэтому необходимо решить 2 k - 1 уравнения Пелла. Для каждого такого уравнения пусть x i , y i будут сгенерированными решениями для i в диапазоне от 1 до max (3, ( p k + 1) / 2) (включительно), где p k - наибольшее из простых чисел в P .
Тогда, как показывает Лемер, все последовательные пары P -гладких чисел имеют вид ( x i - 1) / 2, ( x i + 1) / 2. Таким образом, можно найти все такие пары, проверяя числа этой формы на P -гладкость.
Пример
Чтобы найти десять последовательных пар {2,3,5} -гладких чисел (в теории музыки , задающих суперпредметные отношения для простой настройки ), пусть P = {2,3,5}. Существует семь P- гладких бесквадратных чисел q (без восьмого P- гладкого бесквадратного числа, 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15 и 30, каждое из которых приводит к уравнению Пелла. Количество решений для каждого уравнения Пелла, требуемое методом Лемера, составляет max (3, (5 + 1) / 2) = 3, поэтому этот метод генерирует три решения для каждого уравнения Пелла, как показано ниже.
- При q = 1 первые три решения уравнения Пелла x 2 - 2 y 2 = 1 - это (3,2), (17,12) и (99,70). Таким образом, для каждого из трех значений x i = 3, 17 и 99 метод Лемера проверяет пару ( x i - 1) / 2, ( x i + 1) / 2 на гладкость; Тремя тестируемыми парами являются (1,2), (8,9) и (49,50). И (1,2), и (8,9) являются парами последовательных P- гладких чисел, но (49,50) нет, так как 49 имеет 7 в качестве простого множителя.
- Для q = 3 первые три решения уравнения Пелла x 2 - 6 y 2 = 1 - это (5,2), (49,20) и (485,198). Из трех значений x i = 5, 49 и 485 метод Лемера формирует три пары кандидатов последовательных чисел ( x i - 1) / 2, ( x i + 1) / 2: (2,3), (24, 25) и (242 243). Из них (2, 3) и (24,25) являются парами последовательных P- гладких чисел, а (242 243) - нет.
- Для q = 5 первые три решения уравнения Пелла x 2 - 10 y 2 = 1 - это (19,6), (721,228) и (27379,8658). Решение Пелла (19,6) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (9,10); два других решения уравнения Пелла не приводят к P -гладким парам.
- Для q = 6 первые три решения уравнения Пелла x 2 - 12 y 2 = 1 - это (7,2), (97,28) и (1351,390). Решение Пелла (7,2) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (3,4).
- Для q = 10 первые три решения уравнения Пелла x 2 - 20 y 2 = 1 - это (9,2), (161,36) и (2889,646). Решение Пелля (9,2) приводит к паре последовательных P- гладких чисел (4,5), а решение Пелля (161,36) приводит к паре последовательных P- плавных чисел (80,81).
- Для q = 15 первые три решения уравнения Пелла x 2 - 30 y 2 = 1 - это (11,2), (241,44) и (5291,966). Решение Пелла (11,2) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (5,6).
- Для q = 30 первые три решения уравнения Пелла x 2 - 60 y 2 = 1 - это (31,4), (1921,248) и (119071,15372). Решение Пелла (31,4) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (15,16).
Подсчет решений
Исходный результат Стёрмера можно использовать, чтобы показать, что количество последовательных пар целых чисел, гладких по отношению к набору из k простых чисел, не превосходит 3 k - 2 k . Результат Лемера дает более точную оценку для наборов маленьких простых чисел: (2 k - 1) × max (3, ( p k +1) / 2). [2]
Количество последовательных пар целых чисел, гладких относительно первых k простых чисел, равно
Наибольшее целое число из всех этих пар для каждого k равно
В OEIS также указано количество пар этого типа, в которых большее из двух целых чисел в паре является квадратным (последовательность A117582 в OEIS ) или треугольным (последовательность A117583 в OEIS ), поскольку пары обоих типов возникают часто.
Обобщения и приложения
Луи Морделл написал об этом результате, сказав, что он «очень красивый, и есть много его применений». [3]
По математике
Чейн (1976) использовал метод Стёрмера для доказательства гипотезы Каталана об отсутствии последовательных совершенных степеней (кроме 8,9) в случае, когда одна из двух степеней является квадратом .
Мабхаут (1993) доказал, что каждое число x 4 + 1 при x > 3 имеет простой множитель, больший или равный 137. Теорема Стёрмера является важной частью его доказательства, в котором он сводит проблему к решению 128 Уравнения Пелла.
Несколько авторов расширили работу Стёрмера, предоставив методы для перечисления решений более общих диофантовых уравнений или предоставив более общие критерии делимости для решений уравнений Пелла. [4]
Конри, Холмстром и Маклафлин (2013) описывают вычислительную процедуру, которая эмпирически находит многие, но не все последовательные пары гладких чисел, описанных теоремой Стёрмера, и выполняется намного быстрее, чем использование уравнения Пелла для поиска всех решений.
В теории музыки
В музыкальной практике интонации музыкальные интервалы можно описать как отношения между положительными целыми числами. Более конкретно, их можно описать как отношения между членами гармонического ряда . Любой музыкальный тон может быть разбит на его основную частоту и гармонические частоты, которые кратны основной частоте. Предполагается, что эта серия является основой естественной гармонии и мелодии. Говорят, что тональная сложность соотношений между этими гармониками становится более сложной с более высокими простыми множителями. Чтобы ограничить эту тональную сложность, интервал называется n -пределом, если его числитель и знаменатель n- гладкие . [5] Кроме того, суперчастичные отношения очень важны только в теории настройки, поскольку они представляют собой отношения между соседними членами гармонического ряда. [6]
Теорема Стёрмера позволяет найти все возможные сверхчастичные отношения в заданном пределе. Например, в 3-предельном ( пифагоровом ) соотношении единственными возможными суперсоставными отношениями являются 2/1 ( октава ), 3/2 ( идеальная квинта ), 4/3 ( идеальная четверть ) и 9/8 ( целом шаг ). То есть единственными парами последовательных целых чисел, которые имеют только степени двойки и тройки в их простых факторизациях, являются (1,2), (2,3), (3,4) и (8,9). Если это продолжается до 5-предела, шесть дополнительных superparticular коэффициентов доступны: 5/4 (The главной треть ), 6/5 ( минор третьего ), 10/9 (The незначительных тона ), 16/15 (The незначительного второй ), 25/24 ( минорный полутон ) и 81/80 ( синтоническая запятая ). Все они музыкально значимы.
Заметки
- ^ Стёрмер (1897) .
- ^ а б Лемер (1964) .
- ↑ Цитируется Чепменом (1958) .
- ^ В частности, см. Cao (1991) , Luo (1991) , Mei & Sun (1997) , Sun & Yuan (1989) и Walker (1967) .
- ^ Партч (1974) .
- Перейти ↑ Halsey & Hewitt (1972) .
Рекомендации
- Цао, Чжэнь Фу (1991). «О диофантовом уравнении ( ax m - 1) / ( abx -1) = by 2 ». Chinese Sci. Бык . 36 (4): 275–278. Руководство по ремонту 1138803 .
- Чепмен, Сидней (1958). «Фредрик Карл Мулертц Штормер, 1874–1957». Биографические воспоминания членов Королевского общества . 4 : 257–279. DOI : 10,1098 / rsbm.1958.0021 . JSTOR 769515 .
- Chein, EZ (1976). «Примечание к уравнению x 2 = y q + 1». Труды Американского математического общества . 56 (1): 83–84. DOI : 10.2307 / 2041579 . JSTOR 2041579 . Руководство по ремонту 0404133 .
- Конри, JB; Холмстрем, Массачусетс; Маклафлин, Т.Л. (2013). «Ровные соседи». Экспериментальная математика . 22 (2): 195–202. arXiv : 1212.5161 . DOI : 10.1080 / 10586458.2013.768483 . Руководство по ремонту 3047912 .
- Halsey, GD; Хьюитт, Эдвин (1972). «Еще о сверхчастичных соотношениях в музыке». Американский математический ежемесячник . 79 (10): 1096–1100. DOI : 10.2307 / 2317424 . JSTOR 2317424 . Руководство по ремонту 0313189 .
- Лемер, Д.Х. (1964). «К проблеме Стёрмера» . Иллинойсский журнал математики . 8 : 57–79. DOI : 10.1215 / IJM / 1256067456 . Руководство по ремонту 0158849 .
- Ло, Цзя Гуй (1991). «Обобщение теоремы Штермера и некоторые приложения». Сычуань Дасюэ Сюэбао . 28 (4): 469–474. Руководство по ремонту 1148835 .
- Мабхут, М. (1993). «Минорация де П ( х 4 +1)». Ренд. Сем. Фак. Sci. Univ. Кальяри . 63 (2): 135–148. Руководство по ремонту 1319302 .
- Мэй, Хан Фэй; Сунь, Шэн Фанг (1997). «Дальнейшее расширение теоремы Штёрмера». Журнал Университета Цзишоу (издание по естествознанию) (на китайском языке). 18 (3): 42–44. Руководство по ремонту 1490505 .
- Партч, Гарри (1974). Генезис музыки: отчет о творчестве, его корнях и исполнениях (2-е изд.). Нью-Йорк: Da Capo Press. п. 73 . ISBN 0-306-71597-X.
- Стёрмер, Карл (1897). "Quelques théorèmes sur l'équation de Pell"et leurs applications ». Скрифтер Виденскабс-сельскабет (Христиания), Мат.-Натурв. Кл . I (2).
- Солнце, Ци; Юань, Пин Чжи (1989). "О диофантовых уравнениях а также " Сычуань Дасюэ Сюэбао . 26 : 20–24. MR 1059671 .
- Уокер, Д. Т. (1967). «О диофантовом уравнении mX 2 - nY 2 = ± 1». Американский математический ежемесячник . 74 (5): 504–513. DOI : 10.2307 / 2314877 . JSTOR 2314877 . Руководство по ремонту 0211954 .