В математике сверхчастичное отношение , также называемое сверхчастичным числом или эпиморическим отношением , представляет собой отношение двух последовательных целых чисел .
В частности, соотношение имеет вид:
- где n - натуральное число .
Таким образом:
Сверхчастное число - это когда большое число содержит меньшее число, с которым оно сравнивается, и в то же время одну его часть. Например, при сравнении 3 и 2 они содержат 2, плюс 3 имеет еще 1, что составляет половину от двух. Когда сравниваются 3 и 4, каждый из них содержит 3, а у 4 есть еще 1, что составляет треть от 3. Опять же, когда 5 и 4 сравниваются, они содержат число 4, а 5 - еще 1. , которая является четвертой частью числа 4 и т. д.
- Throop (2006), [1]
О сверхчастичных соотношениях писал Никомах в его трактате « Введение в арифметику» . Хотя эти числа находят применение в современной чистой математике, области исследований, которые чаще всего называют суперчастичные отношения под этим названием, - это теория музыки [2] и история математики . [3]
Математические свойства [ править ]
Как заметил Леонард Эйлер , суперсоставные числа (включая также умноженные суперсоставные отношения, числа, образованные добавлением целого числа, отличного от единицы, к единичной дроби) - это в точности рациональные числа, непрерывная дробь которых заканчивается после двух членов. Числа, у которых непрерывная дробь заканчивается одним членом, являются целыми числами, а остальные числа с тремя или более членами в их непрерывных дробях являются суперчастицами . [4]
Продукт Уоллиса
представляет иррациональное число π несколькими способами как произведение сверхчастичных соотношений и их обратных величин. Также возможно преобразовать формулу Лейбница для π в произведение Эйлера сверхчастичных соотношений, в котором каждый член имеет простое число в качестве числителя и ближайшее кратное четырем в качестве знаменателя: [5]
В теории графов сверхчастичные числа (или, скорее, их обратные значения 1/2, 2/3, 3/4 и т. Д.) Возникают через теорему Эрдеша – Стоуна как возможные значения верхней плотности бесконечного графа. [6]
Другие приложения [ править ]
При изучении гармонии многие музыкальные интервалы могут быть выражены как сверхчастичное соотношение (например, из-за эквивалентности октавы девятая гармоника, 9/1, может быть выражена как суперчастичное соотношение, 9/8). Действительно, то, было ли соотношение сверхчастным, было самым важным критерием в формулировке Птолемеем музыкальной гармонии. [7] В этом приложении теорема Стёрмера может использоваться для перечисления всех возможных сверхчастичных чисел для данного предела ; то есть все отношения этого типа, в которых числитель и знаменатель являются гладкими числами . [2]
Эти соотношения также важны для визуальной гармонии. Аспект соотношение 4: 3 и 3: 2 являются общими в цифровой фотографии , [8] и аспект соотношение 7: 6 и 5: 4 используются в среднем формате и большом формат фотографии соответственно. [9]
[ править ]
Каждая пара смежных положительных целых чисел представляет собой суперпартикулярное соотношение, и аналогично каждая пара смежных гармоник в гармоническом ряду (музыка) представляет суперпредметное отношение. Многие индивидуальные сверхчастичные отношения имеют свои собственные названия либо в исторической математике, либо в теории музыки. К ним относятся следующие:
Соотношение | Центов | Название / музыкальный интервал | Обозначение Бена Джонстона над C | Аудио |
---|---|---|---|---|
2: 1 | 1200 | дуплекс: [а] октава | C ' | Играть ( помощь · информация ) |
3: 2 | 701,96 | sesquialterum: [а] идеальный пятый | грамм | Играть ( помощь · информация ) |
4: 3 | 498,04 | sesquitertium: [а] идеальный четвертый | F | Играть ( помощь · информация ) |
5: 4 | 386,31 | sesquiquartum: [а] большая треть | E | Играть ( помощь · информация ) |
6: 5 | 315,64 | sesquiquintum: [а] малая треть | E ♭ | Играть ( помощь · информация ) |
7: 6 | 266,87 | семеричная малая треть | E ♭ | Играть ( помощь · информация ) |
8: 7 | 231,17 | семеричная большая секунда | D - | Играть ( помощь · информация ) |
9: 8 | 203,91 | sesquioctavum: [а] большая секунда | D | Играть ( помощь · информация ) |
10: 9 | 182,40 | сесквинона: [а] минорный тон | D - | Играть ( помощь · информация ) |
11:10 | 165,00 | большая недесятичная нейтральная секунда | D ↑ ♭ - | Играть ( помощь · информация ) |
12:11 | 150,64 | малая недесятичная нейтральная секунда | D ↓ | Играть ( помощь · информация ) |
15:14 | 119,44 | септимальный диатонический полутон | C ♯ | Играть ( помощь · информация ) |
16:15 | 111,73 | просто диатонический полутон | D ♭ - | Играть ( помощь · информация ) |
17:16 | 104,96 | минорный диатонический полутон | C ♯ | Играть ( помощь · информация ) |
21:20 | 84,47 | семитральный хроматический полутон | D ♭ | Играть ( помощь · информация ) |
25:24 | 70,67 | просто хроматический полутон | C ♯ | Играть ( помощь · информация ) |
28:27 | 62,96 | семеричный третий тон | D ♭ - | Играть ( помощь · информация ) |
32:31 | 54,96 | 31-я субгармоника , нижняя четверть тона | D ♭ - | Играть ( помощь · информация ) |
49:48 | 35,70 | семеричный diesis | D ♭ | Играть ( помощь · информация ) |
50:49 | 34,98 | семеричный шестой тон | B ♯ - | Играть ( помощь · информация ) |
64:63 | 27,26 | семеричная запятая , 63-я субгармоника | С - | Играть ( помощь · информация ) |
81:80 | 21,51 | синтоническая запятая | C + | Играть ( помощь · информация ) |
126: 125 | 13,79 | семикомма | D | Играть ( помощь · информация ) |
128: 127 | 13,58 | 127-я субгармоника | Играть ( помощь · информация ) | |
225: 224 | 7,71 | септимальная клейзма | B ♯ | Играть ( помощь · информация ) |
256: 255 | 6,78 | 255-я субгармоника | D - | Играть ( помощь · информация ) |
4375: 4374 | 0,40 | раджизм | C ♯ - | Играть ( помощь · информация ) |
Корень некоторых из этих терминов происходит от латинского sesqui- «полтора» (от semis «половина» и -que «и»), описывающего соотношение 3: 2.
Заметки [ править ]
- ^ a b c d e f g Древнее название
Цитаты [ править ]
- ^ Труп, Присцилла (2006). Этимологии Исидора Севильского: Полный английский перевод, том 1 , стр. III.6.12, п. 7. ISBN 978-1-4116-6523-1 .
- ^ а б Хэлси, Г.Д .; Хьюитт, Эдвин (1972). «Еще о сверхчастичных соотношениях в музыке». Американский математический ежемесячник . 79 (10): 1096–1100. DOI : 10.2307 / 2317424 . JSTOR 2317424 . Руководство по ремонту 0313189 .
- ^ Робсон, Элеонора ; Стедалл, Жаклин (2008), Оксфордский справочник по истории математики , Oxford University Press, ISBN 9780191607448. На стр. 123–124 в книге обсуждается классификация соотношений на различные типы, включая суперпредметные соотношения, а также традиция, по которой эта классификация была передана от Никомаха Боэтию, Кампану, Орему и Клавию.
- ^ Леонард Эйлер; переведено на английский язык Майрой Ф. Вайман и Боствиком Ф. Вайманом (1985), «Эссе о непрерывных дробях» (PDF) , Mathematical Systems Theory , 18 : 295–328, doi : 10.1007 / bf01699475 CS1 maint: multiple names: authors list (link). См., В частности, стр. 304.
- ^ Debnath, Lokenath (2010), Наследие Леонарда Эйлера: A Tribute Трёхсотлетний , World Scientific, стр. 214, ISBN 9781848165267.
- ^ Эрдеш, П .; Стоун, AH (1946). «О структуре линейных графов» . Бюллетень Американского математического общества . 52 (12): 1087–1091. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1946-08715-7 .
- ^ Барбур, Джеймс Мюррей (2004), Настройка и темперамент: исторический обзор , Courier Dover Publications, стр. 23, ISBN 9780486434063,
Первостепенным принципом в настройках Птолемея было использование сверхчастичных пропорций.
. - ^ Анг, Том (2011), Основы цифровой фотографии , Penguin, стр. 107, ISBN 9780756685263. Анг также отмечает соотношение сторон 16: 9 ( широкоформатный ) как еще один распространенный выбор для цифровой фотографии, но в отличие от 4: 3 и 3: 2 это соотношение не является сверхчастичным.
- ^ Соотношение сторон среднего формата 7: 6 - это одно из нескольких соотношений, возможных при использовании пленки среднего формата 120 , а соотношение 5: 4 достигается двумя общими размерами для широкоформатной пленки: 4 × 5 дюймов и 8 × 10 дюймов. См., Например, Шауб, Джордж (1999), « Как фотографировать на открытом воздухе в черно-белом» , «Как фотографировать», 9 , Stackpole Books, с. 43, ISBN 9780811724500.
Внешние ссылки [ править ]
- Superparticular номер применяется для построения пентатоники от Дэвида Canright .
- De Institutione Арифметик, луб II по Анициям Манлии Северин Боэций