Пифагорейский тюнинг

Континуум синтонной настройки, показывающий настройку по Пифагору на уровне 702 цента. ^[1]

Диатоническая гамма на C Play ( help · info ) 12-тональная ровная темперированная и Play ( help · info ) только по интонации.

Пифагорейский (тонический) мажорный аккорд на C Play ( help · info ) (сравните Play ( help · info ) с равным темпом и Play ( help · info ) just).

Сравнение равномерных (черный) и пифагоровых (зеленый) интервалов, показывающее взаимосвязь между соотношением частот и значениями интервалов в центах.

Пифагорейская настройка - это система музыкальной настройки, в которой соотношения частот всех интервалов основаны на соотношении 3: 2 . ^[2] Это соотношение, также известное как « чистая » совершенная квинта, выбрано потому, что оно является одним из наиболее согласных и его легче всего настраивать на слух, а также из-за важности, приписываемой целому числу 3. Как выразился Новалис , «музыкальный пропорции мне кажутся особенно правильными естественными пропорциями ». ^{[3] В} качестве альтернативы, это можно описать как настройку синтонной темперации ^[1], в которой генератор является соотношением3: 2 (т.е. незакаленная идеальная квинта ) шириной ≈702 цента .

Система была в основном приписана Пифагору (шестой век до нашей эры) современными авторами теории музыки, в то время как Птолемей , а позже Боэций приписывали разделение тетрахорда только на два интервала, называемых «полутоний», «тонус», «тонус». на латыни (256: 243 × 9: 8 × 9: 8) Эратосфену . Так называемый «пифагорейский строй» использовался музыкантами до начала 16 века. «Пифагорейская система кажется идеальной из-за чистоты квинт, но некоторые считают другие интервалы, особенно мажорную треть, настолько расстроенными, что мажорные аккорды [можно считать] диссонансом». ^[2]

Пифагора шкала является любой шкалой , которая может быть построена только из чистых квинт (3: 2) и октава (2: 1). ^[4] В греческой музыке он использовался для настройки тетрахордов , которые были составлены в гаммы, охватывающие октаву. ^[5] Можно провести различие между расширенным пифагорейским строем и 12-тональным пифагорейским темпераментом. Расширенная пифагорейская настройка соответствует 1-на-1 западной нотной записи, и нет никаких ограничений на количество квинт. В 12-тонной пифагорейской темперации, однако, один ограничен 12-ю тонами на октаву, и нельзя играть большую часть музыки в соответствии с пифагорейской системой, соответствующей энгармонической нотации, вместо этого обнаруживается, что, например, уменьшенная шестая становится «волчьей пятой».

Метод [ править ]

12-тональная пифагорейская темперация основана на наборе интервалов, называемых идеальными квинтами, каждый настроен в соотношении 3: 2, следующем простейшем соотношении после 2: 1. Начиная, например, с D ( настройка на основе D ), шесть других нот воспроизводятся шестикратным перемещением в соотношении 3: 2 вверх, а остальные - перемещением того же отношения вниз:

E ♭ –B ♭ –F – C – G– D –A – E – B – F♯ – C♯ – G♯

Эта последовательность из одиннадцати интервалов 3: 2 охватывает широкий диапазон частот (на клавиатуре фортепиано он включает 77 клавиш). Поскольку нотам, различающимся по частоте в 2 раза, дается одно и то же имя, принято делить или умножать частоты некоторых из этих нот на 2 или на степень 2. Целью этой настройки является перемещение 12 нот. в меньшем частотном диапазоне, а именно в интервале между основной нотой D и D над ней (нота с удвоенной частотой). Этот интервал обычно называется базовой октавой (на клавиатуре фортепиано октава имеет только 12 клавиш).

Например, А настроен так, что его частота равна 3/2 частоты D - если D настроен на частоту 288 Гц , то А настроен на 432 Гц. Точно так же E выше A настроен так, что его частота равна 3/2 частоты A или 9/4 частоты D - с A на 432 Гц, это ставит E на 648 Гц. Так как эта E находится за пределами вышеупомянутой базовой октавы (т.е. ее частота более чем в два раза превышает частоту базовой ноты D), обычно ее частоту уменьшают вдвое, чтобы переместить ее в пределах основной октавы. Поэтому E настроен на 324 Гц, 9/8 (= один эпогдун) выше D. Буква B на 3/2 выше, чем E, настроена на соотношение 27:16 и так далее. Начиная с той же точки, работая другим способом, G настраивается на 3/2 ниже D, что означает, что ему назначается частота, равная 2/3 частоты D - с D на 288 Гц, это ставит G на 192. Гц. Затем эта частота удваивается (до 384 Гц), чтобы привести ее в основную октаву.

Однако при расширении этой настройки возникает проблема: ни один стек интервалов 3: 2 (идеальных квинт) не поместится точно в любой стек интервалов 2: 1 (октав). Например, такая стопка, как эта, полученная добавлением еще одной ноты в стопку, показанную выше

A ♭ –E ♭ –B ♭ –F – C – G– D –A – E – B – F♯ – C♯ – G♯

будет аналогичен, но не идентичен по размеру стеку из 7 октав. Точнее, она будет примерно на четверть полутона больше, и называется пифагорейской запятой . Таким образом, A ♭ и G ♯ , будучи переведены в основную октаву, не будут совпадать, как ожидалось. Приведенная ниже таблица иллюстрирует это, показывая для каждой ноты в основной октаве условное название интервала от D (базовой ноты), формулу для вычисления его отношения частот, его размер в центах и разницу в центах (обозначено 12- ТЕТ-диф в таблице) между его размером и размером соответствующего в равноотпущенном масштабе.

Примечание	Интервал от D	Формула	знак равно	знак равно	Соотношение частот	Размер (центы)	12-ТЕТ-диф (центы)
А ♭	уменьшенная пятая	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{6}\times 2^{4}$	$3^{-6}\times 2^{10}$	${\frac {2^{10}}{3^{6}}}$	${\frac {1024}{729}}$	588,27	-11,73
E ♭	второстепенная секунда	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{5}\times 2^{3}$	$3^{-5}\times 2^{8}$	${\frac {2^{8}}{3^{5}}}$	${\frac {256}{243}}$	90,22	-9,78
B ♭	второстепенный шестой	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}\times 2^{3}$	$3^{-4}\times 2^{7}$	${\frac {2^{7}}{3^{4}}}$	${\frac {128}{81}}$	792,18	-7,82
F	второстепенная треть	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}\times 2^{2}$	$3^{-3}\times 2^{5}$	${\frac {2^{5}}{3^{3}}}$	${\frac {32}{27}}$	294,13	−5,87
C	второстепенный седьмой	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}\times 2^{2}$	$3^{-2}\times 2^{4}$	${\frac {2^{4}}{3^{2}}}$	${\frac {16}{9}}$	996,09	−3,91
грамм	идеальный четвертый	${\frac {2}{3}}\times 2$	$3^{-1}\times 2^{2}$	${\frac {2^{2}}{3^{1}}}$	${\frac {4}{3}}$	498,04	-1,96
D	унисон	${\frac {1}{1}}$	$3^{0}\times 2^{0}$	${\frac {3^{0}}{2^{0}}}$	${\frac {1}{1}}$	0,00	0,00
А	идеальный пятый	${\frac {3}{2}}$	$3^{1}\times 2^{-1}$	${\frac {3^{1}}{2^{1}}}$	${\frac {3}{2}}$	701,96	1,96
E	основная секунда	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\times {\frac {1}{2}}$	$3^{2}\times 2^{-3}$	${\frac {3^{2}}{2^{3}}}$	${\frac {9}{8}}$	203,91	3,91
B	основной шестой	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{3}\times {\frac {1}{2}}$	$3^{3}\times 2^{-4}$	${\frac {3^{3}}{2^{4}}}$	${\frac {27}{16}}$	905,87	5,87
F ♯	большая треть	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	$3^{4}\times 2^{-6}$	${\frac {3^{4}}{2^{6}}}$	${\frac {81}{64}}$	407,82	7,82
C ♯	основной седьмой	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{5}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	$3^{5}\times 2^{-7}$	${\frac {3^{5}}{2^{7}}}$	${\frac {243}{128}}$	1109,78	9,78
G ♯	дополненный четвертый	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{6}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}$	$3^{6}\times 2^{-9}$	${\frac {3^{6}}{2^{9}}}$	${\frac {729}{512}}$	611,73	11,73

В формулах соотношения 3: 2 или 2: 3 представляют восходящую или убывающую идеальную квинту (т. Е. Увеличение или уменьшение частоты на идеальную квинту, а 2: 1 или 1: 2 представляют восходящую или понижающую октаву. Формулы также могут быть выражены через мощности третьей и второй гармоник .

Крупные масштабы на основе C, полученные из этой настройки составляет: ^[6]

Примечание	C		D		E		F		грамм		А		B		C
Соотношение	¹ / ₁		⁹ / ₈		⁸¹ / ₆₄		⁴ / ₃		³ / ₂		²⁷ / ₁₆		²⁴³ / ₁₂₈		² / ₁
Шаг	-	⁹ / ₈		⁹ / ₈		²⁵⁶ / ₂₄₃		⁹ / ₈		⁹ / ₈		⁹ / ₈		²⁵⁶ / ₂₄₃		-

При одинаковой темперации пары энгармонических нот, такие как A ♭ и G ♯, считаются совершенно одной и той же нотой, однако, как показывает приведенная выше таблица, в пифагорейской настройке они имеют разные отношения по отношению к D, что означает, что они находятся в другая частота. Это расхождение в 23,46 цента, или почти четверть полутона, известно как пифагорейская запятая .

Чтобы обойти эту проблему, пифагорейский строй строит только двенадцать нот, как указано выше, с одиннадцатью пятыми между ними. Например, можно использовать только 12 нот от E ♭ до G ♯ . Это, как показано выше, означает, что только одиннадцать квинт используются для построения всей хроматической гаммы. Оставшийся интервал (уменьшенная шестая от G ♯ до E ♭ ) оставлен сильно расстроенным, что означает, что любая музыка, сочетающая эти две ноты, не может быть воспроизведена в этой настройке. Такой очень расстроенный интервал, как этот, известен как интервал волка . В случае пифагорейской настройки все квинта имеют ширину 701,96 цента в точном соотношении 3: 2, за исключением квинтэссенции волка, ширина которой составляет всего 678,49 цента, то есть почти четвертьполутон более плоский.

Если ноты G ♯ и E ♭ должны звучать вместе, положение волчьей квинты можно изменить. Например, пифагорейская настройка на основе C создаст стек пятых долей, идущий от D ♭ до F ♯ , в результате чего F ♯ -D ♭ интервал волка. Однако в пифагорейской настройке всегда будет один пятый волк, что делает невозможным играть во всех тональностях одновременно .

Размер интервалов [ править ]

В таблице выше показаны только интервалы от D. Однако интервалы могут быть сформированы, начиная с каждой из перечисленных выше 12 нот. Таким образом, для каждого типа интервала можно определить двенадцать интервалов (двенадцать унисонов, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов, состоящих из двух полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из трех полутонов, и т. Д.).

Частотное отношение 144 интервалов в пифагорейской настройке на основе D. Названия интервалов даются в сокращенном виде. Чистые интервалы выделены жирным шрифтом. Интервалы волка выделены красным. ^[7] Числа больше 999 показаны как степени двойки или тройки.

Приблизительный размер в центах 144 интервалов пифагорейской настройки на основе D. Названия интервалов даются в сокращенном виде. Чистые интервалы выделены жирным шрифтом. Интервалы волка выделены красным. ^[7]

Как объяснялось выше, одна из двенадцати пятых (пятая волчья) имеет другой размер по сравнению с другими одиннадцатью. По той же причине каждый из других типов интервалов, кроме унисонов и октав, имеет два разных размера в пифагорейской настройке. Это расплата за поиск интонации . В таблицах справа и ниже показаны их соотношения частот и их приблизительные размеры в центах. Названия интервалов даются в их стандартной сокращенной форме. Например, размер интервала от D к A, которая является идеальной пятой ( Р5 ), можно найти в седьмом столбце строк помечена D . Полужирным шрифтом выделены строго определенные (или чистые) интервалы .Интервалы волка выделены красным. ^[7]

Причина, по которой размеры интервалов варьируются по шкале, заключается в том, что шаги, образующие шкалу, расположены неравномерно. А именно, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют два разных полутона (то есть интервалы между соседними нотами):

Минорная секунда ( m2 ), также называемая диатоническим полутоном, с размером (например, между D и E ♭ )
$S_{1}={256 \over 243}\approx 90.225\ {\hbox{cents}}$
Расширенный унисон ( A1 ), также называемый хроматическим полутоном, с размером (например, между E ♭ и E)
$S_{2}={3^{7} \over 2^{11}}={2187 \over 2048}\approx 113.685\ {\hbox{cents}}$

И наоборот, в хроматической гамме с одинаковым темперированием , по определению, двенадцать шагов равномерно распределены, причем все полутоны имеют размер точно

S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000\ {\hbox{cents}}.

Как следствие, все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все основные трети имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. Д.). Плата за это в данном случае состоит в том, что ни один из них не настроен должным образом и не созвучен, за исключением, конечно, унисона и октавы.

По определению, в пифагорейской настройке 11 идеальных пятых ( P5 в таблице) имеют размер примерно 701,955 центов (700 + ε центов, где ε ≈ 1,955 центов). Так как средний размер 12 пятых должен равняться ровно 700 центов (как при равном темпераменте), другой должен иметь размер 700-11ε центов, что составляет около 678,495 центов (пятый волк). Обратите внимание, что, как показано в таблице, последний интервал, хотя энгармонически эквивалентен пятому, более правильно называется уменьшенным шестым ( d6 ). По аналогии,

9 второстепенных третей ( м3 ) составляют ≈ 294,135 центов (300−3ε), 3 увеличенных секунды ( A2 ) составляют ≈ 317,595 центов (300 + 9ε), а их среднее значение составляет 300 центов;
8 основных третей ( M3 ) составляют ≈ 407,820 центов (400 + 4ε), 4 уменьшенных четверти ( d4 ) составляют ≈ 384,360 центов (400−8ε), а их среднее значение составляет 400 центов;
7 диатонических полутонов ( m2 ) составляют ≈ 90,225 центов (100−5ε), 5 хроматических полутонов ( A1 ) составляют ≈ 113,685 центов (100 + 7ε), а их среднее значение составляет 100 центов.

Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, кроме унисонов и октав, и все они кратны ε, разнице между пифагорейской пятой и средней пятой.

Обратите внимание, что, как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на 12ε (≈ 23,460) центов уже или шире, чем его энгармонический эквивалент. Например, d6 (или пятый волк) на 12 центов уже, чем каждый P5, а каждый A2 на 12 центов шире, чем каждый m3. Этот интервал размером 12ε известен как пифагорова запятая , в точности равная уменьшенной секунде (≈ -23,460 центов). Отсюда следует, что ε также можно определить как одну двенадцатую пифагорову запятую.

Пифагоровы интервалы [ править ]

Четыре из вышеупомянутых интервалов имеют определенное название в пифагорейской настройке. В следующей таблице представлены эти конкретные имена вместе с альтернативными именами, обычно используемыми для некоторых других интервалов. Обратите внимание, что пифагорейская запятая не совпадает с уменьшенной секундой, так как ее размер (524288: 531441) является обратной величиной пифагорейской уменьшенной секунды (531441: 524288). Также дитон и полудитон специфичны для пифагорейской настройки, тогда как тон и тритон используются в общем для всех систем настройки. Несмотря на свое название, полудитон (3 полутона, или около 300 центов) вряд ли можно рассматривать как половину дитона (4 полутона, или около 400 центов). Все интервалы с префиксом sesqui- равныправильно настроены, и их отношение частот , указанное в таблице, является суперпредметным числом (или эпиморическим соотношением). То же самое и с октавой.

Количество полутонов	Родовые имена				Конкретные имена
	Качество и количество		Другие соглашения об именах		Пифагорейская настройка (названия отношения высоты звука)	5-предельная настройка	1/4 запятой означает один
	Полный	короткий	Другие соглашения об именах		Пифагорейская настройка (названия отношения высоты звука)	5-предельная настройка	1/4 запятой означает один
0			запятая		Пифагорейская запятая (524288: 531441)		diesis (128: 125)
0	уменьшился второй	d2			(531441: 524288)		diesis (128: 125)
1	второстепенная секунда	m2	полутона, половина тон, полшага	диатонический полутон, минорный полутон	limma (λείμμα) (256: 243)
1	усиленный унисон	A1	полутона, половина тон, полшага	хроматический полутон, мажорный полутон	apotome (αποτομή) (2187: 2048)
2	основная секунда	M2	тон, весь тон, целый шаг		epogdoön (επόγδοον), sesquioctavum (9: 8)
3	второстепенная треть	м3			полудитон (32:27)	полуторный (6: 5)
4	большая треть	M3			дитон (δίτονον) (81:64)	полуторный (5: 4)
5	идеальный четвертый	P4	диатессарон (διατεσσάρων)		эпитрит (επίτριτος), сесквитерций (4: 3)
6	уменьшенная пятая	d5
6	дополненный четвертый	A4			тритон (τρίτονον) (729: 512)
7	идеальный пятый	P5	диапенте (διαπέντε)		гемиолион (ημιόλιον), sesquialterum (3: 2)
12	(идеальная) октава	P8	диапазон (διαπασών)		дуплекс (2: 1)

История и использование [ править ]

Из-за волчьего интервала при использовании 12-тонального пифагорейского темперамента этот строй сегодня используется редко, хотя считается, что он был широко распространен. В музыке, которая не очень часто меняет тональность или которая не очень гармонично связана с приключениями, интервал волка вряд ли будет проблемой, поскольку в таких произведениях будут слышны не все возможные квинты. В расширенной пифагорейской настройке нет волчьего интервала, все идеальные квинты равны точно 3: 2.

Поскольку большинство квинт в 12-тональной пифагорейской темперации находятся в простом соотношении 3: 2, они звучат очень «гладко» и созвучно. Трети, напротив, большинство из которых находятся в относительно сложных соотношениях 81:64 (для основных терций) и 32:27 (для второстепенных), звучат менее гладко в зависимости от инструмента. ^[8]

Примерно с 1510 года, когда трети стали рассматриваться как созвучия, означали один темперамент , и, в частности, четверть запятой означали единицу , которая настраивает трети в относительно простом соотношении 5: 4 , стала самой популярной системой для настройки клавиатуры. В то же время синтонно-диатоническая просто интонация была положена сначала Рамосом, а затем Зарлино как нормальный строй для певцов.

Тем не менее, Meanone представил свои собственные гармонические проблемы. Его волчьи интервалы оказались даже хуже, чем у пифагорейской настройки (настолько, что часто требовалось 19 ключей к октаве, в отличие от 12 в пифагорейской настройке). Как следствие, meanone подходил не для всей музыки. Примерно с 18 века, когда росло желание инструментов для изменения тональности и, следовательно, во избежание волчьих перерывов, это привело к широкому использованию хорошего темперамента и, в конечном итоге, равного темперамента .

Пифагорейский темперамент все еще можно услышать в некоторых частях современной классической музыки у певцов и инструментов без фиксированной настройки, таких как семейство скрипок.. Если у исполнителя есть несопровождаемый пассаж, основанный на гаммах, он будет склонен использовать пифагорейскую интонацию, так как это сделает звукоряд лучше всего гармоничным, а затем вернется к другим темпераментам для других пассажей (просто интонация для аккордовых или арпеджированных фигур и равная темперация, когда в сопровождении фортепиано или оркестра). Это можно увидеть в первом такте Сонаты No 1 Баха для скрипки без аккомпанемента, где си-бемоль вступительного аккорда исполняется естественным образом в одной интонации и звучит более ровно, чем последующий си-бемоль, который появляется в нисходящей гамме и естественно пифагорейский. Такие изменения никогда явно не записываются и практически не заметны для публики, просто звучат «гармонично».

Дискография [ править ]

Bragod - дуэт, исполняющий исторически обоснованные исполнения средневековой валлийской музыки с использованием Crwth и шестиструнной лиры с использованием пифагорейской настройки.
Готические голоса - Музыка для Короля с Львиным сердцем (Гиперион, CDA66336, 1989), режиссер Кристофер Пейдж (Пиявка-Уилкинсон)
Лу Харрисон в исполнении Джона Шнайдера и перкуссионного ансамбля Cal Arts под управлением Джона Бергамо - Гитара и перкуссия (Etceter Records, KTC1071, 1990): Сюита № 1 для гитары и перкуссии и Plaint & Variations из "Песни о Палестине"

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме пифагорейской настройки и интервалов .

53 ровный темперамент , почти пифагорейский строй
Энгармоническая шкала
Список подразумеваемых интервалов
Список музыкальных интервалов
Список интервалов высоты тона
Обычный темперамент
Shí-èr-lǜ
Музыкальный темперамент
Тимей (диалог) , в котором Платон обсуждает пифагорейскую настройку
Целостная шкала

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

^ a b Милн, Эндрю; Сетхарес, Вашингтон ; Пламондон, Дж. (Декабрь 2007 г.). « Инвариантные пальцы в настраиваемом континууме » . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (4): 15–32. DOI : 10.1162 / comj.2007.31.4.15 . Проверено 11 июля 2013 .
^ а б Брюс Бенвард и Мэрилин Надин Сакер (2003). Музыка: Теория и практика , издание седьмое, 2 тт. (Бостон: Макгроу-Хилл). Vol. Я: п. 56. ISBN 978-0-07-294262-0 .
^ Кеннет Сильван Гатри, Дэвид Р. Фиделер (1987). Пифагорейский справочник и библиотека: Антология древних писаний, имеющих отношение к Пифагору и пифагорейской философии , стр.24. Красное колесо / Вайзер. ISBN 9780933999510 .
^ Sethares, William A. (2005). Настройка, тембр, спектр, масштаб , стр.163. ISBN 1-85233-797-4 .
Перейти ↑ Frazer, Peter A. (апрель 2001 г.). "Развитие музыкальных систем настройки" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 06 мая 2006 года . Проверено 2 февраля 2014 .
^ Азиатское общество Японии (1879). Труды Азиатского общества Японии , том 7 , стр. 82. Азиатское общество Японии.
^ a b c Интервалы Вольфа в данном документе оперативно определены как интервалы, состоящие из 3, 4, 5, 7, 8 или 9 полутонов (т. е. мажорных и второстепенных третей или шестых, полных четвертей или пятых и их энгармонических эквивалентов ), размер которых отклоняется более чем на одну синтоническую запятую (около 21,5 цента) от соответствующего правильно интонированного интервала. Интервалы, состоящие из 1, 2, 6, 10 или 11 полутонов (например, мажорные и минорные секунды или седьмые, тритоны и их энгармонические эквиваленты) считаются диссонирующими, даже если они правильно настроены, поэтому они не помечаются как волк интервалы, даже если они отклоняются от интонации более чем на одну синтоническую запятую.
^ Однако 3/2⁸ описывается как «почти точно мажорная треть». Сетхарес (2005), стр. 60.

Ссылки [ править ]

Дэниел Лич-Уилкинсон (1997), «Хорошее, плохое и скучное», компаньон средневековой и ренессансной музыке . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-816540-4 .

Внешние ссылки [ править ]

«Пифагорейский строй диатонической гаммы» с аудио-образцами.
Марго Шультер «Пифагорейская настройка и средневековая полифония» .
Создание пифагорейской настройки в электронной таблице , видео со звуковыми образцами.

[Milne2007-1] Милн, Эндрю; Сетхарес, Вашингтон ; Пламондон, Дж. (Декабрь 2007 г.). « Инвариантные пальцы в настраиваемом континууме » . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (4): 15–32. DOI : 10.1162 / comj.2007.31.4.15 . Проверено 11 июля 2013 .

[B&S-2] а б Брюс Бенвард и Мэрилин Надин Сакер (2003). Музыка: Теория и практика , издание седьмое, 2 тт. (Бостон: Макгроу-Хилл). Vol. Я: п. 56. ISBN 978-0-07-294262-0 .

[3] Кеннет Сильван Гатри, Дэвид Р. Фиделер (1987). Пифагорейский справочник и библиотека: Антология древних писаний, имеющих отношение к Пифагору и пифагорейской философии , стр.24. Красное колесо / Вайзер. ISBN 9780933999510 .

[4] Sethares, William A. (2005). Настройка, тембр, спектр, масштаб , стр.163. ISBN 1-85233-797-4 .

[5] Перейти ↑ Frazer, Peter A. (апрель 2001 г.). "Развитие музыкальных систем настройки" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 06 мая 2006 года . Проверено 2 февраля 2014 .

[6] Азиатское общество Японии (1879). Труды Азиатского общества Японии , том 7 , стр. 82. Азиатское общество Японии.

[Wolf-7] Интервалы Вольфа в данном документе оперативно определены как интервалы, состоящие из 3, 4, 5, 7, 8 или 9 полутонов (т. е. мажорных и второстепенных третей или шестых, полных четвертей или пятых и их энгармонических эквивалентов ), размер которых отклоняется более чем на одну синтоническую запятую (около 21,5 цента) от соответствующего правильно интонированного интервала. Интервалы, состоящие из 1, 2, 6, 10 или 11 полутонов (например, мажорные и минорные секунды или седьмые, тритоны и их энгармонические эквиваленты) считаются диссонирующими, даже если они правильно настроены, поэтому они не помечаются как волк интервалы, даже если они отклоняются от интонации более чем на одну синтоническую запятую.

[8] Однако 3/2⁸ описывается как «почти точно мажорная треть». Сетхарес (2005), стр. 60.

[1]