Ряд Кемпнера [ 1] [2] : 31–33 — это модификация гармонического ряда , образованная опусканием всех членов, знаменатель которых, выраженный по основанию 10, содержит цифру 9. То есть это сумма
где штрих указывает, что n принимает только те значения, в десятичном представлении которых нет девяток. Этот ряд был впервые изучен А. Дж. Кемпнером в 1914 году . [3] Этот ряд противоречит здравому смыслу , потому что, в отличие от гармонического ряда, он сходится. Кемпнер показал, что сумма этого ряда меньше 80. Бэйли [4] показал, что при округлении до 20 знаков после запятой фактическая сумма равна 22,92067 66192 64150 34816 (последовательность A082838 в OEIS ).
Эвристически этот ряд сходится, потому что большинство больших целых чисел содержат каждую цифру. Например, случайное 100-значное целое число, скорее всего, будет содержать хотя бы одну цифру «9», поэтому оно будет исключено из приведенной выше суммы.
Schmelzer и Baillie [5] нашли эффективный алгоритм для более общей проблемы любой пропущенной строки цифр. Например, сумма 1 / n , где n не имеет экземпляров «42», составляет около 228,44630 41592 30813 25415 . Другой пример: сумма 1 / n , где n не содержит строки цифр «314159», составляет около 2302582,33386 37826 07892 02376 . (Все значения округлены до последнего десятичного знака).
Доказательство сходимости Кемпнера [3] повторяется в некоторых учебниках, например Харди и Райта, [6] : 120 , а также появляется как упражнение в Апостоле. [7] : 212 Сгруппируем члены суммы по количеству цифр в знаменателе. Количество n - значных положительных целых чисел, у которых нет цифры, равной '9', равно 8 × 9 n −1 , потому что существует 8 вариантов (от 1 до 8) для первой цифры и 9 независимых вариантов (от 0 до 8) для каждой. остальных n −1 цифр. Каждое из этих чисел, не содержащих «9», больше или равно 10 n −1 , поэтому обратная величина каждого из этих чисел меньше или равна 10 1−н . Следовательно, вклад этой группы в сумму обратных величин меньше 8 × ( 9/10 ) n − 1 . Следовательно, вся сумма обратных величин не превосходит
Тот же аргумент работает для любой пропущенной ненулевой цифры. Количество n - значных положительных целых чисел, у которых нет «0», равно 9 n , поэтому сумма 1 / n , где n не имеет цифры «0», не превышает