Взаимная постоянная Фибоначчи

Обратной константы Фибоначчи , или ψ , определяется как сумма обратных величин этих чисел Фибоначчи :

${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$

Соотношение следующих друг за другом членов в этой сумме имеет тенденцию к величине, обратной золотому сечению . Поскольку это меньше 1, тест отношения показывает, что сумма сходится.

Известно, что значение ψ приблизительно равно

${\displaystyle \psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots .}$(последовательность A079586 в OEIS )

Госпер описывает алгоритм быстрого численного приближения его значения. Обратный ряд Фибоначчи сам по себе обеспечивает O ( k ) знаков точности для k членов разложения, в то время как ускоренный ряд Госпера обеспечивает O ( k ² ) знаков. ^[1] ψ, как известно, иррациональна ; это свойство было предположено Полом Эрдешем , Рональдом Грэмом и Леонардом Карлитцем и доказано в 1989 году Ричардом Андре-Жаннином . ^[2]

Цепная дробь представление константы является:

${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,.}$(последовательность A079587 в OEIS )

См. Также [ править ]

• Список сумм обратных величин

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Взаимная постоянная Фибоначчи» . MathWorld .

Эта статья по математике незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e