Предварительный заказ

В теории множеств предварительное упорядочение - это бинарное отношение, которое является транзитивным , связным и хорошо обоснованным (точнее, хорошо обоснованным). Другими словами, если это prewellordering на множестве , и если мы определим по${\ displaystyle \ leq}$${\ Displaystyle х \ leq y \ земля у \ nleq x}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sim}$

${\ displaystyle x \ sim y \ iff x \ leq y \ land y \ leq x}$

тогда является отношением эквивалентности на и индуцирует хороший порядок на факторе . Тип заказа этого индуцированного заказа - порядковый , называемый продолжительностью предварительного заказа.${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ leq}$ ${\ Displaystyle X / \ sim}$

Норма на множестве является отображением в порядковые. Каждая норма вызывает предварительный порядок; если - норма, соответствующий предварительный порядок определяется выражением${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ phi: X \ to Ord}$

${\ Displaystyle х \ Leq Y \ iff \ phi (x) \ leq \ phi (y)}$

И наоборот, каждое предварительное упорядочение индуцируется единственной регулярной нормой (норма является регулярной, если для любого и любого существует такая, что ).${\ displaystyle \ phi: X \ to Ord}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \alpha <\phi (x)}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle \phi (y)=\alpha }$

Prewellordering свойство [ править ]

Если это pointclass подмножеств некоторого набора из польских пространств , замкнутый относительно декартова произведения , и если это prewellordering некоторого подмножества некоторого элемента из , то говорят, что а - prewellordering в том случае , если отношения и являются элементами , где для ,${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle <^{*}}$${\displaystyle \leq ^{*}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle x,y\in X}$

1. ${\displaystyle x<^{*}y\iff x\in P\land [y\notin P\lor \{x\leq y\land y\not \leq x\}]}$
2. ${\displaystyle x\leq ^{*}y\iff x\in P\land [y\notin P\lor x\leq y]}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$считается, что имеет свойство prewellordering, если каждый набор в допускает -prewellordering.${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$

Свойство предварительного упорядочивания связано с более сильным свойством масштабирования ; на практике многие классы точек, обладающие свойством предварительного упорядочивания, также обладают свойством масштаба, что позволяет делать более убедительные выводы.

Примеры [ править ]

${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$и оба имеют свойство предварительного заказа; это можно доказать только в ZFC . Предполагая , что достаточно большие кардинал , для каждого , и есть prewellordering собственности.${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}}$${\displaystyle n\in \omega }$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}}$

Последствия [ править ]

Сокращение [ править ]

Если это адекватный точечный класс со свойством предварительного упорядочивания, то он также имеет свойство редукции : для любого пространства и любых множеств , и того и другого , объединение может быть разделено на множества , как в , так что и .${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle A\cup B}$${\displaystyle A^{*},B^{*}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle A^{*}\subseteq A}$${\displaystyle B^{*}\subseteq B}$

Разделение [ править ]

Если это адекватный точечный класс, чей двойной точечный класс имеет свойство предварительного упорядочивания, то имеет свойство разделения : для любого пространства и любых множеств , а также непересекающихся множеств в обоих , существует такой набор , что оба и его дополнение находятся внутри , с и .${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X\setminus C}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle B\cap C=\emptyset }$

Например, имеет свойство предварительного заказа, так же как и свойство разделения. Это означает , что если и непересекающиеся аналитические подмножества некоторого польского пространства , то есть Борель подмножество из таких , что включает в себя и не пересекается с .${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

См. Также [ править ]

• Теория описательных множеств
• Масштабировать свойство
• Graded poset - градуированный poset аналогичен предварительному порядку с нормой, заменяя карту с порядковыми числами картой с целыми числами.

Ссылки [ править ]

• Мощовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 0-444-70199-0.