В математической дисциплине дескриптивной теории множеств , шкала представляет собой определенный вид объекта , определенный на множество из точек в некотором польском пространстве (например, шкала может быть определена на множестве действительных чисел ). Весы первоначально были выделены в виде концепции в теории униформизации , [1] , но нашли широкое применение в описательной теории множеств, с приложениями , такими как установление границ на возможных длины wellorderings заданной сложности, и показано (при некоторых предположениях) что существуют самые большие счетные множества определенных сложностей.
Формальное определение [ править ]
Для данного набора точек A, содержащегося в некотором пространстве продукта
где каждое X k является либо пространством Бэра, либо счетно бесконечным дискретным множеством, мы говорим, что норма на A - это отображение из A в порядковые числа . Каждая норма имеет связанный предварительный порядок , когда один элемент A предшествует другому элементу, если норма первого меньше, чем норма второго.
Шкала на А представляет собой счетное совокупность норм
со следующими свойствами:
- Если последовательность x i такова, что
- x i является элементом A для каждого натурального числа i , и
- x i сходится к элементу x в пространстве произведения X , и
- для каждого натурального числа n существует порядковый номер λ n такой, что φ n ( x i ) = λ n для всех достаточно больших i , тогда
- x является элементом A , и
- для каждого n , φ n (x) ≤λ n . [2]
Сам по себе, по крайней мере удовлетворила аксиому выбора , существование шкалы на множествах точек тривиально, так как можно wellordered и каждый φ п может просто перечисление . Чтобы концепция была полезной, необходимо наложить критерий определимости на нормы (по отдельности и вместе). Здесь «определимость» понимается в обычном смысле описательной теории множеств; это не обязательно должно быть определимостью в абсолютном смысле, а скорее указывает на принадлежность к некоторому точечному классу множеств действительных чисел. Сами нормы φ n не являются наборами вещественных чисел, но соответствующие предварительные порядки (по крайней мере, по сути).
Идея состоит в том, что для данного класса точек Γ мы хотим, чтобы предварительные порядки ниже заданной точки в A были единообразно представлены как как множество в Γ, так и как одно в двойном классе точек для Γ, по отношению к "большей" точке, являющейся элемент А . Формально мы говорим, что φ n образуют Γ-шкалу на A, если они образуют шкалу на A и существуют такие тернарные отношения S и T , что если y является элементом A , то
где S находится в Γ, а T находится в двойственном точечном классе к Γ (то есть дополнение к T находится в Γ). [3] Обратите внимание, что мы думаем о φ n ( x ) как о ∞, если x ∉ A ; Таким образом , условие φ п ( х ) ≤φ п ( у ), для у ∈ A , также подразумевает х ∈ .
Из определения не следует, что набор норм находится на пересечении Γ с двойственным классом точек к Γ. Это потому , что трехходовая эквивалентность обусловливающая у является элементом A . Для y не в A , может случиться так, что одно или оба из S (n, x, y) или T (n, x, y) не могут выполняться, даже если x находится в A (и, следовательно, автоматически φ n ( x ) ≤φ n ( y ) = ∞).
Приложения [ править ]
![[значок]](/wiki/File:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small} | Этот раздел пуст. Вы можете помочь, добавив к нему . ( Март 2021 г. ) |
Масштабировать свойство [ править ]
Свойство масштаба - это усиление свойства предзаказа . Для классов точек определенной формы это означает, что отношения в данном классе точек имеют униформизацию, которая также присутствует в классе точек.
Периодичность [ править ]
| Этот раздел пуст. Вы можете помочь, добавив к нему . ( Март 2021 г. ) |
Заметки [ править ]
Ссылки [ править ]
- Мощовакис, Яннис Н. (1980), Теория описательных множеств , Северная Голландия, ISBN 0-444-70199-0
- Кечрис, Александр С .; Moschovakis, Yiannis N. (2008), «Заметки по теории весов», в Kechris, Alexander S .; Бенедикт Лёве ; Стил, Джон Р. (ред.), Games, Scales и Suslin Cardinals: The Cabal Seminar, Volume I , Cambridge University Press, стр. 28–74, ISBN 978-0-521-89951-2
