В математике , особенно в элементарной арифметике и элементарной алгебре , при наличии уравнения между двумя дробями или рациональными выражениями можно выполнить перекрестное умножение, чтобы упростить уравнение или определить значение переменной.
Этот метод также иногда называют методом «скрестить сердце», потому что можно нарисовать линии, напоминающие контур сердца, чтобы запомнить, какие элементы нужно умножить вместе.
Учитывая уравнение вроде
где b и d не равны нулю, можно перемножить, чтобы получить
В евклидовой геометрии такое же вычисление может быть достигнуто, если рассматривать отношения, как у аналогичных треугольников .
Процедура [ править ]
На практике метод перекрестного умножения означает, что мы умножаем числитель каждой (или одной) стороны на знаменатель другой стороны, фактически вычеркивая члены:
Математическое обоснование метода заключается в следующей более длительной математической процедуре. Если мы начнем с основного уравнения
мы можем умножить слагаемые с каждой стороны на одно и то же число, и слагаемые останутся равными. Следовательно, если мы умножим дробь с каждой стороны на произведение знаменателей обеих сторон - bd - мы получим
Мы можем сократить дроби до наименьших членов, заметив, что два вхождения b в левой части сокращаются, как и два вхождения d в правой части, оставляя
и мы можем разделить обе части уравнения на любой из элементов - в этом случае мы будем использовать d - получая
Еще одно обоснование перекрестного умножения заключается в следующем. Начиная с данного уравнения
умножить на d/d = 1 слева и б/б = 1 справа, получая
и так
Сократить общий знаменатель bd = db , оставив
Каждый шаг в этих процедурах основан на одном фундаментальном свойстве уравнений . Перекрестное умножение - это кратчайший путь, легко понятная процедура, которой можно научить студентов.
Используйте [ редактировать ]
Это обычная процедура в математике, используемая для сокращения дробей или вычисления значения данной переменной в дроби. Если у нас есть уравнение
где x - переменная, которую мы хотим найти, мы можем использовать перекрестное умножение, чтобы определить, что
Например, предположим, что мы хотим знать, как далеко автомобиль проедет за 7 часов, если мы знаем, что его скорость постоянна и что он уже проехал 90 миль за последние 3 часа. Преобразуя проблему слова в соотношения, получаем
Перекрестное умножение урожайности
и так
Обратите внимание, что даже простые уравнения вроде
решаются с использованием перекрестного умножения, поскольку отсутствующий член b неявно равен 1:
Любое уравнение, содержащее дроби или рациональные выражения, можно упростить, умножив обе части на наименьший общий знаменатель . Этот шаг называется очисткой дробей .
Правило трех [ править ]
Правило трех [1] была историческая версия стенографии для конкретной формы поперечного умножения , которые могли бы научить студентов по роте. Это считалось вершиной колониального математического образования [2] и до сих пор фигурирует во французской национальной программе среднего образования. [3]
Для уравнения вида
где переменная, которая должна быть оценена, находится в правом знаменателе, правило трех гласит, что
В этом контексте a упоминается как крайность пропорции, а b и c называются средними .
Это правило было известно китайским математикам еще до II века н.э. [4], хотя в Европе оно использовалось гораздо позже.
Правило трех получило известность [ необходима цитата ] из- за того, что его особенно трудно объяснить. «Арифметика Кокера» , главный учебник 17-го века, вводит обсуждение правила трех [5] с проблемой «Если 4 ярда ткани стоят 12 шиллингов, сколько будут стоить 6 ярдов при такой ставке?» Правило трех дает прямой ответ на эту проблему; тогда как в современной арифметике мы бы решили это, введя переменную x для обозначения стоимости 6 ярдов ткани, записав уравнение
а затем с помощью перекрестного умножения для вычисления x :
В анонимной рукописи, датированной 1570 годом [6], сказано: «Умножение - это досада, / Разделение так же плохо; / Правило трех меня озадачивает, / А практика сводит меня с ума».
Двойное правило трех [ править ]
Расширением правила трех было двойное правило трех , которое включало поиск неизвестного значения, когда известны пять, а не три других значения.
Примером такой проблемы может быть: если 6 строителей могут построить 8 домов за 100 дней, сколько дней потребуется 10 строителям, чтобы построить 20 домов с той же скоростью? , и это можно настроить как
что при двойном перекрестном умножении дает
Льюис Кэрролл «s„ Песня Безумного Садовника “включает в себя линии„Он думал , что он увидел сад-двери / Что открыли с ключом: / Он снова посмотрел, и нашел , что это было / Двойное Правило трех“. [7]
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Это иногда также называли золотым правилом , хотя такое использование редко по сравнению с другими применениями золотого правила . См. Э. Кобхэм Брюэр (1898). «Золотое правило» . Словарь фраз и басен Брюера . Филадельфия: Генри Альтемус.
- ^ Убиратан Д'Амброзио; Джозеф В. Даубен; Карен Хунгер Паршалл (2014). «Математическое образование в Америке в досовременный период». У Александра Карпа; Герт Шубринг (ред.). Справочник по истории математического образования . Springer Science. п. 177. ISBN. 978-1-4614-9155-2.
- ^ "Socle de connaissances, pilier 3" . Министерство образования Франции. 30 декабря 2012 . Проверено 24 сентября 2015 года .
- ^ Шен Каншен; Джон Н. Кроссли; Энтони В.-К. Лун (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
- ^ Эдвард Кокер (1702). Арифметика Кокера . Лондон: Джон Хокинс. п. 103 .
- ^ Краткий Оксфордский словарь цитат, 1964.
- ↑ Сильви и Бруно , Глава 12.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Брайан Бурелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , стр. 85-101
- "Доктор математик", Правило трех
- «Доктор математик», Авраам Линкольн и правило трех
- Система арифметики Пайка в сокращенном виде: предназначена для облегчения изучения науки о числах, постигая наиболее ясные и точные правила, иллюстрирована полезными примерами: к которым добавлены соответствующие вопросы для изучения ученых и краткая система книг. сохранение. , 1827 г. - факсимиле соответствующего раздела
- Правило трех в применении Михаилом Родосским в пятнадцатом веке
- Правило трех в Mother Goose
- Редьярд Киплинг: Вы можете решить это дробями или простым правилом трех, но путь Твидл-дум - это не путь Твидл-ди.
Внешние ссылки [ править ]
- СМИ, связанные с перекрестным умножением на Викискладе?
