Наименьший общий знаменатель

В математике , то наименьший общий знаменатель или наименьший общий знаменатель (сокращенно ЖК ) является наименьшее общее кратное из знаменателей множества из фракций . Это упрощает сложение, вычитание и сравнение дробей.

Описание [ править ]

Наименьший общий знаменатель набора дробей - это наименьшее число, кратное всем знаменателям: их наименьшее общее кратное . Произведение знаменателей всегда является общим знаменателем, например:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {2} {3}} \; = \; {\ frac {3} {6}} + {\ frac {4} {6}} \; = \; {\ frac {7} {6}}}$

но это не всегда наименьший общий знаменатель, например:

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}\;=\;{\frac {15}{36}}+{\frac {22}{36}}\;=\;{\frac {37}{36}}}$

Здесь 36 - наименьшее общее кратное 12 и 18. Их произведение, 216, также является общим знаменателем, но при вычислении с этим знаменателем требуются большие числа:

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {90}{216}}+{\frac {132}{216}}={\frac {222}{216}}.}$

К переменным, а не числам применяются те же принципы: ^[1]

${\displaystyle {\frac {a}{bc}}+{\frac {c}{b^{2}d}}\;=\;{\frac {abd}{b^{2}cd}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}cd}}\;=\;{\frac {abd+c^{2}}{b^{2}cd}}}$

Некоторые методы расчета ЖК-дисплея имеют как минимум общее кратное § ​​Расчет .

Роль в арифметике и алгебре [ править ]

Одна и та же фракция может быть выражена во многих различных формах. Если соотношение числителя и знаменателя одинаковое, дроби представляют собой одно и то же число. Например:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}={\frac {12}{18}}={\frac {144}{216}}={\frac {200,000}{300,000}}}$

потому что все они умножаются на 1 и записываются в виде дроби:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {6}{6}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {72}{72}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {100,000}{100,000}}.}$

Обычно проще всего складывать, вычитать или сравнивать дроби, когда каждая выражается одним и тем же знаменателем, называемым «общим знаменателем». Например, числители дробей с общими знаменателями можно просто сложить так, что и , поскольку каждая дробь имеет общий знаменатель 12. Без вычисления общего знаменателя не очевидно, что равно, или больше или нет. меньше чем . Подойдет любой общий знаменатель, но обычно желателен наименьший общий знаменатель, потому что он максимально упрощает остальные вычисления. ^[2]${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {6}{12}}={\frac {11}{12}}}$${\displaystyle {\frac {5}{12}}<{\frac {11}{12}}}$${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}}$${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$${\displaystyle {\frac {11}{18}}}$

Практическое использование [ править ]

ЖК-дисплей имеет множество практических применений, таких как определение количества объектов двух разной длины, необходимых для выравнивания их в ряд, который начинается и заканчивается в одном и том же месте, например, при кирпичной кладке , мозаике и мозаике . Это также полезно при планировании графиков работы с сотрудниками, у которых y выходных дней каждые x дней.

В музыкальном ритме ЖК-дисплей используется в кросс-ритмах и полиметрах для определения наименьшего количества нот, необходимых для отсчета времени с учетом двух или более метрических делений. Например, большая часть африканской музыки записана в западной нотации с использованием¹²
₈ потому что каждая мера делится на 4 и на 3, ЖК-дисплей которых равен 12.

Разговорное использование [ править ]

Выражение «наименьший общий знаменатель» используется для описания (обычно в неодобрительной манере) правила, предложения, мнения или средств массовой информации, которые намеренно упрощены, чтобы обратиться к как можно большему количеству людей. ^[3]

См. Также [ править ]

• Аномальная отмена
• Наибольший общий делитель
• Частичное разложение дробей , обращает процесс сложения дробей в необычные знаменатели

Ссылки [ править ]