Теорема Кэмпбелла (вероятность)

---

В теории вероятностей и статистике теорема Кэмпбелла или теорема Кэмпбелла-Харди представляет собой либо конкретное уравнение , либо набор результатов, относящихся к математическому ожиданию функции , суммированной по точечному процессу с интегралом , включающим среднюю меру точечного процесса, что позволяет вычисление ожидаемого значения и дисперсии случайной суммы . Одна версия теоремы, ^[1] также известная как формула Кэмпбелла , ^{[2] : 28} влечет за собой интегральное уравнение для вышеупомянутой суммы по общему точечному процессу, а не обязательно по точечному процессу Пуассона. ^[2] Существуют также уравнения, включающие меры моментов и факториальные меры моментов , которые считаются вариантами формулы Кэмпбелла. Все эти результаты используются в теории вероятностей и статистике с особым значением втеории точечных процессов ^[3] и теории массового обслуживания ^[4] , а также в смежных областях стохастической геометрии ^[1] , теории перколяции континуума ^[5] и пространственной статистике . . ^[2][6]

Другой результат, названный теоремой Кэмпбелла ^[7] , относится именно к точечному процессу Пуассона и дает метод вычисления моментов , а также функционал Лапласа от точечного процесса Пуассона.

Название обеих теорем происходит от работы ^{[8] [9]} Нормана Р. Кэмпбелла о термоэмиссионном шуме, также известном как дробовой шум , в электронных лампах ^{[3] [10]} , которая была частично вдохновлена ​​работой Эрнеста Резерфорда . и Ганса Гейгера по обнаружению альфа-частиц , где точечный процесс Пуассона возник как решение семейства дифференциальных уравнений Гарри Бейтмана . ^[10] В работе Кэмпбелла представлены моменты и производящие функции.случайной суммы процесса Пуассона на действительной прямой, но отмечает, что основной математический аргумент был связан с Г. Х. Харди , который вдохновил результат, который иногда называют теоремой Кэмпбелла-Харди . ^{[10] [11]}

Для точечного процесса , определенного в d -мерном евклидовом пространстве , ^[a] теорема Кэмпбелла предлагает способ вычисления математических ожиданий действительнозначной функции, определенной также на и суммированной по , а именно:${\ Displaystyle Н}$ ${\ Displaystyle {\ textbf {R}} ^ {д}}$${\ Displaystyle е}$${\ Displaystyle {\ textbf {R}} ^ {д}}$${\ Displaystyle Н}$

где обозначает ожидание, а обозначение набора используется таким образом, что оно считается случайным набором (см. Обозначение процесса точки ). Для точечного процесса теорема Кэмпбелла связывает приведенное выше ожидание с мерой интенсивности . По отношению к борелевскому множеству B мера интенсивности определяется как:${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle Н}$${\ Displaystyle Н}$${\ Displaystyle \ лямбда}$ ${\ Displaystyle Н}$

где используется такое обозначение меры , которое считается мерой случайного подсчета . Величину можно интерпретировать как среднее число точек точечного процесса, находящихся в множестве B .${\ Displaystyle Н}$${\ Displaystyle \ лямбда (В)}$${\ Displaystyle Н}$

---