Функционал Лапласа

В теории вероятностей , А Лаплас функционала относится к одному из двух возможных математических функций , функций или, точнее, функционалы , которые служат в качестве математического аппарата для изучения либо процессов точечных или концентрации измерительных свойств метрических пространств . Один тип функционала Лапласа, ^{[1] [2],} также известный как характеристический функционал ^[a] , определяется по отношению к точечному процессу, который можно интерпретировать как случайные счетные меры, и имеет приложения для характеристики и получения результатов по точечным процессам. . ^[5] Его определение аналогичнохарактеристическая функция для случайной величины .

Другой функционал Лапласа предназначен для вероятностных пространств, снабженных метриками, и используется для изучения концентрации мерных свойств пространства.

Определение точечных процессов [ править ]

Для общего точечного процесса, определенного на , функционал Лапласа определяется как: ^[6]${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

${\ Displaystyle L_ {N} (е) = E [е ^ {- \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx)}],}$

где - любая измеримая неотрицательная функция на и${\ displaystyle \ textstyle f}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) {N} (dx) = \ sum \ limits _ {x_ {i} \ in N} f (x_ {i}) ).}$

где обозначение интерпретирует точечный процесс как случайную меру счета ; см. Обозначение точечного процесса .${\ Displaystyle N (dx)}$

Приложения [ править ]

Функционал Лапласа характеризует точечный процесс, и, если он известен для точечного процесса, его можно использовать для доказательства различных результатов. ^{[2] [6]}

Определение вероятностных мер [ править ]

Для некоторого метрического вероятностного пространства ( X ,  d ,  μ ), где ( X ,  d ) - метрическое пространство, а μ - вероятностная мера на борелевских множествах ( X ,  d ), функционал Лапласа :

${\ displaystyle E _ {(X, d, \ mu)} (\ lambda): = \ sup \ left \ {\ left. \ int _ {X} e ^ {\ lambda f (x)} \, \ mathrm { d} \ mu (x) \ right | f \ двоеточие X \ to \ mathbb {R} {\ text {ограничено, 1-липшицево и имеет}} \ int _ {X} f (x) \, \ mathrm { d} \ mu (x) = 0 \ right \}.}$

Функционал Лапласа преобразует положительную действительную линию в положительную (расширенную) действительную линию, или в математической записи:

${\displaystyle E_{(X,d,\mu )}\colon [0,+\infty )\to [0,+\infty ]}$

Приложения [ править ]

Функционал Лапласа от ( X ,  d ,  μ ) может использоваться для ограничения функции концентрации ( X ,  d ,  μ ), которая определяется для r  > 0 формулой

${\displaystyle \alpha _{(X,d,\mu )}(r):=\sup\{1-\mu (A_{r})\mid A\subseteq X{\text{ and }}\mu (A)\geq {\tfrac {1}{2}}\},}$

куда

${\displaystyle A_{r}:=\{x\in X\mid d(x,A)\leq r\}.}$

Тогда функционал Лапласа от ( X ,  d ,  μ ) дает оценку сверху:

${\displaystyle \alpha _{(X,d,\mu )}(r)\leq \inf _{\lambda \geq 0}e^{-\lambda r/2}E_{(X,d,\mu )}(\lambda ).}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Леду, Мишель (2001). Феномен концентрации меры . Математические обзоры и монографии. 89 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. с. x + 181. ISBN 0-8218-2864-9. MR 1849347