Концентрация меры

В математике , концентрация меры (о среднем ) является принцип , который применяется в теории меры , вероятности и комбинаторики , и имеет последствия для других областях , таких как банахово пространство теории. Неформально он заявляет, что «случайная величина, которая липшицевым образом зависит от многих независимых переменных (но не слишком сильно от любой из них), по существу является постоянной». ^[1]

Феномен концентрации меры был выдвинут в начале 1970-х годов Виталием Мильманом в его работах по локальной теории банаховых пространств , развивая идею, восходящую к работам Поля Леви . ^{[2] [3]} Дальнейшее развитие он получил в работах Мильмана и Громова , Море , Пизье , Шехтмана , Талаграна , Леду и других.

Общие настройки [ править ]

Пусть - метрическое пространство с мерой на борелевских множествах с . Позволять ${\ displaystyle (X, d)}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ му (Х) = 1}$

${\ displaystyle \ alpha (\ epsilon) = \ sup \ left \ {\ mu (X \ setminus A _ {\ epsilon}) \, | A {\ mbox {- множество Бореля и}} \, \ mu (A) \ geq 1/2 \ right \},}$

куда

${\ Displaystyle A _ {\ epsilon} = \ left \ {x \, | \, d (x, A) <\ epsilon \ right \}}$

это - расширение (также называемый -fattening в контексте расстояния Хаусдорфа ) множества .${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\displaystyle A}$

Функция называется степенью концентрации пространства . Следующее эквивалентное определение имеет множество приложений:${\displaystyle \alpha (\cdot )}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (\{F\geq \mathop {M} +\epsilon \})\right\},}$

где супремум берется по всем 1-липшицевым функциям , а медиана (или среднее Леви) определяется неравенствами${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle M=\mathop {\mathrm {Med} } F}$

${\displaystyle \mu \{F\geq M\}\geq 1/2,\,\mu \{F\leq M\}\geq 1/2.}$

Неформально пространство демонстрирует явление концентрации, если оно очень быстро распадается по мере роста. Более формально, семейство метрических пространств с мерой называется семейством Леви, если соответствующие скорости концентрации удовлетворяют${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha (\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle (X_{n},d_{n},\mu _{n})}$${\displaystyle \alpha _{n}}$

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\to 0{\rm {\;as\;}}n\to \infty ,}$

и нормальная семья Леви, если

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\leq C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$

для некоторых констант . Примеры см. Ниже.${\displaystyle c,C>0}$

Концентрация на сфере [ править ]

Первый пример восходит к Полю Леви . Согласно сферическому изопериметрическому неравенству среди всех подмножеств сферы с заданной сферической мерой сферическая крышка${\displaystyle A}$${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(A)}$

${\displaystyle \left\{x\in S^{n}|\mathrm {dist} (x,x_{0})\leq R\right\},}$

для подходящих , имеет наименьшее -расширение (для любого ).${\displaystyle R}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle A_{\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon >0}$

Применяя это к множествам мер (где ), можно вывести следующее неравенство концентрации :${\displaystyle \sigma _{n}(A)=1/2}$${\displaystyle \sigma _{n}(S^{n})=1}$

${\displaystyle \sigma _{n}(A_{\epsilon })\geq 1-C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$,

где - универсальные константы. Следовательно, удовлетворяют приведенному выше определению нормальной семьи Леви.${\displaystyle C,c}$${\displaystyle (S^{n})_{n}}$

Виталий Мильман применил этот факт к нескольким задачам локальной теории банаховых пространств, в частности, для нового доказательства теоремы Дворецкого .

Концентрация меры в физике [ править ]

Вся классическая статистическая физика основана на феномене концентрации меры: фундаментальная идея («теорема») об эквивалентности ансамблей в термодинамическом пределе ( Гиббс , 1902 ^[4] и Эйнштейн , 1902–1904 ^{[5] [6] [7])} ) - это в точности теорема о концентрации тонких оболочек. Для каждой механической системы рассмотрит фазовое пространство , оснащенное инвариантной мера Лиувилля (фазовый объем) и экономию энергии E . Микроканонический ансамбль является лишь инвариантным распределением по поверхности постоянной энергии Е , полученной Гиббса как предел распределений в фазовом пространствес постоянной плотностью в тонких слоях между поверхностями состояний с энергией E и с энергией E + ΔE . Канонический ансамбль задается плотностью вероятности в фазовом пространстве (относительно фазового объема) , где величины F = Const и Т = Const определяются условиями вероятности нормализации и заданное ожиданием энергии Е .${\displaystyle \rho =e^{\frac {F-E}{kT}},}$

Когда количество частиц велико, то разница между средними значениями макроскопических переменных для канонического и микроканонического ансамблей стремится к нулю, и их флуктуации оцениваются явно. Эти результаты оказалось строго при некоторых условиях регулярности функции энергии Е по Хинчину (1943). ^[8] Простейший частный случай, когда E представляет собой сумму квадратов, был хорошо известен до Хинчина и Леви и даже до Гиббса и Эйнштейна. Это распределение Максвелла – Больцмана энергии частиц в идеальном газе.

Микроканонический ансамбль очень естественен с наивной физической точки зрения: это просто естественное равнораспределение на изоэнергетической гиперповерхности. Канонический ансамбль очень полезен благодаря важному свойству: если система состоит из двух невзаимодействующих подсистем, т.е. если энергия E является суммой,, где - состояния подсистем, то состояния равновесия подсистем независимы, Равновесное распределение системы является продуктом равновесных распределений подсистем с одним и тем же T. Эквивалентность этих ансамблей является краеугольным камнем механических основ термодинамики.${\displaystyle E=E_{1}(X_{1})+E_{2}(X_{2})}$${\displaystyle X_{1},X_{2}}$

Другие примеры [ править ]

• Неравенство Борелла – ТИС
• Гауссово изопериметрическое неравенство
• Неравенство МакДиармида
• Неравенство концентраций Талагранда

Сноски [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Леду, Мишель (2001). Феномен концентрации меры . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2864-9.

• А. А. Гианнопулос, В. Мильман, Свойство концентрации на вероятностных пространствах , Успехи математики 156 (2000), 77-106.