В математике , теорема Дворецкого является важной структурной теорема о нормированных векторных пространствах доказывается Арье Дворецкий в начале 1960 - х лет, [1] , отвечая на вопрос о Гротендике . По сути, он говорит, что каждое достаточно многомерное нормированное векторное пространство будет иметь подпространства низкой размерности, которые приблизительно евклидовы . Эквивалентно, каждое ограниченное симметричное выпуклое множество большой размерности имеет сечения низкой размерности, которые приблизительно являются эллипсоидами .
Новое доказательство, найденное Виталием Мильманом в 1970-х годах [2], стало одной из отправных точек для развития асимптотического геометрического анализа (также называемого асимптотическим функциональным анализом или локальной теорией банаховых пространств ). [3]
Оригинальные составы
Для любого натурального числа k ∈ N и любого ε > 0 существует натуральное число N ( k , ε ) ∈ N такое, что если ( X , ‖ · ‖) - любое нормированное пространство размерности N ( k , ε ), существует подпространство E ⊂ X размерности k и положительная квадратичная форма Q на E такие, что соответствующая евклидова норма
на E удовлетворяет:
В терминах мультипликативного расстояния Банаха-Мазура d заключение теоремы можно сформулировать так:
где обозначает стандартное k -мерное евклидово пространство.
Поскольку единичный шар любого нормированного векторного пространства является ограниченным, симметричным, выпуклым множеством, а единичный шар каждого евклидова пространства является эллипсоидом, теорема также может быть сформулирована как утверждение об эллипсоидных сечениях выпуклых множеств.
Дальнейшее развитие
В 1971 году Виталий Мильман дал новое доказательство теоремы Дворецкого, используя концентрацию меры на сфере, чтобы показать, что случайное k -мерное подпространство удовлетворяет вышеуказанному неравенству с вероятностью, очень близкой к 1. Доказательство дает точную зависимость от k :
где постоянная C ( ε ) зависит только от ε .
Таким образом, мы можем утверждать: для любого ε > 0 и любого нормированного пространства ( X , ‖ · ‖) размерности N существует подпространство E ⊂ X размерности k ≥ C ( ε ) log N и евклидова норма | · | на E такой, что
Точнее, пусть S N - 1 обозначает единичную сферу относительно некоторой евклидовой структуры Q на X , и пусть σ - инвариантная вероятностная мера на S N - 1 . Потом:
- существует такое подпространство E с
- Для любого X можно выбрать Q так, чтобы член в скобках был не более
Здесь c 1 - универсальная постоянная. При заданном X и е , наибольший возможный к обозначается K * ( X ) и называется размерность Дворецкого из X .
Зависимость от й была изучена Yehoram Гордон , [4] [5] , который показал , что K * ( X ) ≥ C 2 ε 2 входа N . Другое доказательство этого результата было дано Гидеоном Шехтманом . [6]
Нога Алон и Виталий Мильман показали, что логарифмическая оценка размерности подпространства в теореме Дворецкого может быть значительно улучшена, если кто-то хочет принять подпространство, близкое либо к евклидову, либо к пространству Чебышева . В частности, для некоторой константы c каждое n- мерное пространство имеет подпространство размерности k ≥ exp ( c √ log N ), которое близко либо к ℓk
2или лk
∞. [7]
Важные связанные результаты были доказаны Тадеушем Фигилем , Джорамом Линденштраусом и Мильманом. [8]
Рекомендации
- ^ Дворецкий, A. (1961). «Некоторые результаты о выпуклых телах и банаховых пространствах». Proc. Междунар. Симпозиумы. Линейные пространства (Иерусалим, 1960) . Иерусалим: Иерусалимская академическая пресса. С. 123–160.
- ^ Мильман, В.Д. (1971). «Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел». Функц. Анальный. Я Приложен. (на русском). 5 (4): 28–37.
- ^ Гауэрс, WT (2000). «Две культуры математики». Математика: рубежи и перспективы . Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. С. 65–78. ISBN 978-0-8218-2070-4.
Полное значение концентрации меры впервые осознал Виталий Мильман в его революционном доказательстве [Mil1971] теоремы Дворецкого ... Теорема Дворецкого, особенно доказанная Мильманом, является важной вехой в локальном (то есть конечномерном) теория банаховых пространств. Хотя мне жаль математика, который не видит его внутренней привлекательности, этот призыв сам по себе не объясняет того огромного влияния, которое оказало доказательство, выходящее далеко за рамки теории пространства Банаха, в результате внедрения идеи концентрации меры в умы. многих математиков. В настоящее время опубликовано огромное количество статей, в которых используется эта идея или предлагаются новые методы доказательства ее правильности.
- ^ Гордон, Ю. (1985). «Некоторые неравенства для гауссовских процессов и приложений». Israel J. Math . 50 (4): 265–289. DOI : 10.1007 / bf02759761 .
- ^ Гордон, Ю. (1988). «Гауссовские процессы и почти сферические сечения выпуклых тел» . Анналы вероятности . 16 (1): 180–188. DOI : 10.1214 / AOP / 1176991893 .
- ^ Шехтман, Г. (1989). «Замечание о зависимости от ε в теореме Дворецкого». Геометрические аспекты функционального анализа (1987–88) . Конспект лекций по математике. 1376 . Берлин: Springer. С. 274–277. ISBN 978-0-387-51303-4.
- ^ Алон, Н .; Мильман, В.Д. (1983), "Вложениев конечномерных банаховых пространствах», Israel Journal математики , 45 (4): 265-280, DOI : 10.1007 / BF02804012 , МР 0720303.
- ^ Figiel, T .; Lindenstrauss, J .; Мильман, В.Д. (1976). «Размерность почти сферических сечений выпуклых тел» . Бык. Амер. Математика. Soc . 82 (4): 575–578. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1976-14108-0 ., раскрыто в "Размерности почти сферических сечений выпуклых тел", Acta Math. 139 (1977), 53–94.