В математике - в частности, в геометрической теории меры - сферическая мера σ n является «естественной» борелевской мерой на n -сфере S n . Сферическую меру часто нормируют так, чтобы она была вероятностной мерой на сфере, т. Е. Чтобы σ n ( S n ) = 1.
Определение сферической меры
Есть несколько способов определить сферическую меру. Один из способов - использовать обычную метрику «округления» или « длины дуги » ρ n на S n ; то есть для точек x и y в S n , ρ n ( x , y ) определяется как (евклидов) угол, который они составляют в центре сферы (начало R n +1 ). Теперь построим n -мерную меру Хаусдорфа H n на метрическом пространстве ( S n , ρ n ) и определим
Можно было бы также дать S n метрику, которую он наследует как подпространство евклидова пространства R n +1 ; та же сферическая мера получается из этого выбора метрики.
Другой метод использует меру Лебега λ n +1 на объемлющем евклидовом пространстве R n +1 : для любого измеримого подмножества A в S n определим σ n ( A ) как ( n + 1) -мерный объем «клина» в шаре B n +1, который он выходит в начало координат. Это,
где
Тот факт, что все эти методы определяют одну и ту же меру на S n, следует из элегантного результата Кристенсена: все эти меры, очевидно, равномерно распределены на S n , и любые две равномерно распределенные борелевские регулярные меры на сепарабельном метрическом пространстве должны быть постоянными (положительными ) кратные друг другу. Поскольку все наши кандидаты σ n были нормализованы как вероятностные меры, все они являются одной и той же мерой.
Связь с другими мерами
Связь сферической меры с мерой Хаусдорфа на сфере и мерой Лебега на объемлющем пространстве уже обсуждалась.
Сферическая мера хорошо связана с мерой Хаара на ортогональной группе . Пусть O ( n ) обозначает ортогональную группу, действующую на R n, и пусть θ n обозначает ее нормированную меру Хаара (так что θ n (O ( n )) = 1). Ортогональная группа действует также на сфере S n −1 . Тогда для любого х ∈ S п -1 и любого A ⊆ S н -1 ,
В случае, когда S n является топологической группой (то есть, когда n равно 0, 1 или 3), сферическая мера σ n совпадает с (нормированной) мерой Хаара на S n .
Изопериметрическое неравенство
Существует изопериметрическое неравенство для сферы с ее обычной метрической и сферической мерой (см. Ledoux & Talagrand, глава 1):
Если A ⊆ S n −1 - любое борелевское множество и B ⊆ S n −1 - ρ n -шар с той же σ n -мерой, что и A , то для любого r > 0
где A r обозначает "раздувание" A через r , т. е.
В частности, если σ n ( A ) ≥ 1/2и n ≥ 2, то
Рекомендации
- Кристенсен, Йенс Петер Реус (1970). «О некоторых мерах, аналогичных мере Хаара». Mathematica Scandinavica . 26 : 103–106. ISSN 0025-5521 . МИСТЕР0260979
- Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах . Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 480. ISBN 3-540-52013-9. МИСТЕР1102015 (см. Главу 1)
- Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах: фракталы и спрямляемость . Кембриджские исследования по высшей математике № 44. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xii + 343. ISBN 0-521-46576-1. МИСТЕР1333890 (см. Главу 3)