Обозначение точечного процесса

Вероятность

Контур Каталог статей Вероятностные Глоссарий Обозначение Журналы Категория
v т е

В вероятности и статистике , точечный процесс обозначение включает в себя ряд математических обозначений , используемых символический представляют собой случайные объекты , известные как точечные процессы , которые используются в смежных областях , такие как стохастическая геометрия , пространственная статистика и теория континуума перколяции и часто служат в качестве математических моделей случайного явления, представленные в виде точек во времени, пространстве или в обоих случаях.

Обозначения изменяются из - за истории некоторых математических полех и различные интерпретации точечных процессов, ^[1]^[2]^[3] и заимствуют обозначения из математических областей исследования , такие как теория меры и теории множеств . ^[1]

Интерпретация точечных процессов [ править ]

Обозначения, а также терминология точечных процессов зависят от их настройки и интерпретации как математических объектов, которые при определенных предположениях могут интерпретироваться как случайные последовательности точек, случайные наборы точек или случайные счетные меры . ^[1]

Случайные последовательности точек [ править ]

В некоторых математических рамках данный точечный процесс может рассматриваться как последовательность точек, каждая из которых случайным образом расположена в d- мерном евклидовом пространстве R ^d^[1], а также в некоторых других более абстрактных математических пространствах . В общем, то, эквивалентна ли случайная последовательность другим интерпретациям точечного процесса, зависит от лежащего в основе математического пространства, но это верно для настройки конечномерного евклидова пространства R ^d . ^[4]

Случайный набор точек [ править ]

Точечный процесс называется простым, если никакие две (или более точки) не совпадают по местоположению с вероятностью один . Учитывая, что часто точечные процессы просты и порядок точек не имеет значения, набор случайных точек можно рассматривать как случайный набор точек ^[1]^[5] Теория случайных множеств была независимо разработана Дэвидом Кендаллом и Джорджем Матерон . С точки зрения рассмотрения как случайное множество, последовательность случайных точек является случайным замкнутым множеством, если последовательность не имеет точек накопления с вероятностью один ^[6]

Процесс точки часто обозначаются одной буквой, ^[1]^[7]^[8] , например , и если процесс точки рассматриваются как случайный набор, то соответствующие обозначения: ^[1] ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle x \ in {N},}

используется для обозначения того, что случайная точка является элементом (или принадлежит ) точечному процессу . Теория случайных множеств может быть применена к точечным процессам благодаря этой интерпретации, которая наряду с интерпретацией случайной последовательности привела к тому, что точечный процесс записывается как: ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {N}}$

{\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots \} = \ {x \} _ {i},}

что подчеркивает его интерпретацию как случайную последовательность или случайный замкнутый набор точек. ^[1] Кроме того, иногда заглавная буква обозначает точечный процесс, а строчная буква обозначает точку из процесса, так, например, точка (или ) принадлежит или является точкой точечного процесса , или с обозначением набора, . ^[8] ${\ displaystyle \ textstyle x}$ ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle X}$ ${\ displaystyle \ textstyle x \ in X}$

Случайные меры [ править ]

Для обозначения количества точек, находящихся в некотором борелевском множестве , иногда пишут ^[7] ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

{\ Displaystyle \ Phi (B) = \ # (B \ cap {N}),}

где - случайная величина, а - счетная мера , которая дает количество точек в некотором наборе. В этом математическом выражении точечный процесс обозначается: ${\ displaystyle \ Phi (B)}$ ${\ displaystyle \ #}$

${\ displaystyle {N}}$ .

С другой стороны, символ:

${\ displaystyle \ Phi}$

представляет количество точек в . В контексте случайных мер можно написать: ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ Phi (B) = п}$

чтобы обозначить, что существует множество, которое содержит точки . Другими словами, точечный процесс можно рассматривать как случайную меру, которая присваивает множествам некоторую неотрицательную целочисленную меру . ^[1] Эта интерпретация послужила причиной того, что точечный процесс считается просто другим названием для случайной счетной меры ^[9]^:^106, а методы теории случайной меры предлагают другой способ изучения точечных процессов ^[1]^[10], который также вызывает использование различных обозначений, используемых в теории интегрирования и меры. ^[а] ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {N}}$

Двойное обозначение [ править ]

Различные интерпретации точечных процессов как случайных множеств и счетных мер фиксируются с помощью часто используемых обозначений ^[1]^[3]^[8]^[11], в которых:

${\ displaystyle {N}}$ обозначает набор случайных точек.
${\ displaystyle {N} (B)}$ обозначает случайную величину, которая дает количество точек в (следовательно, это случайная мера подсчета). ${\ displaystyle {N}}$ ${\ displaystyle B}$

Снова обозначая счетную меру буквой , это двойное обозначение означает: ${\ displaystyle \ #}$

{\ displaystyle {N} (B) = \ # (B \ cap {N}).}

Суммы [ править ]

Если - некоторая измеримая функция на R ^d , то сумма по всем точкам в может быть записана несколькими способами ^[1]^[3], например: ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle {N}}$

f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots

который имеет вид случайной последовательности или с обозначением как:

\sum _{x\in {N}}f(x)

или, что то же самое, с обозначением интегрирования как:

\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)

где акцент делается на интерпретации того, что это случайная мера подсчета. Можно использовать альтернативное обозначение интегрирования, чтобы записать этот интеграл как: ${N}$

\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d{N}

Двойная интерпретация точечных процессов иллюстрируется записью количества точек в наборе как: ${N}$ $B$

{N}(B)=\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)

где индикаторная функция, если точка существует в, и ноль в противном случае, что в этой настройке также известно как мера Дирака . ^[11] В этом выражении интерпретация случайной меры находится в левой части, в то время как используется нотация случайного набора - в правой части. $1_{B}(x)=1$ $x$ $B$

Ожидания [ править ]

Среднее или ожидаемое значение из суммы функций над точечным процессом записываются в виде: ^[1]^[3]

E\left[\sum _{x\in {N}}f(x)\right]\qquad {\text{or}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}f(x)P(d{N}),

где (в смысле случайной меры) - подходящая вероятностная мера, определенная на пространстве считающих мер . Ожидаемое значение может быть записано как: ^[1] $P$ ${\textbf {N}}$ ${N}(B)$

E[{N}(B)]=E\left(\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)\right)\qquad {\text{or}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)P(d{N}).

который также известен как первый момент измерения из . Математическое ожидание такой случайной суммы, известное как процесс дробового шума в теории точечных процессов, может быть вычислено с помощью теоремы Кэмпбелла . ^[2] ${N}$

Используется в других полях [ править ]

Точечные процессы используются в других математических и статистических дисциплинах, поэтому обозначения могут использоваться в таких областях, как стохастическая геометрия , пространственная статистика или теория перколяции континуума , а также в областях, в которых используются методы и теория из этих областей.

См. Также [ править ]

Математические буквенно-цифровые символы
Математические обозначения
Обозначение в вероятности
Таблица математических символов

Заметки [ править ]

^ Как обсуждалось в главе 1 Стояна, Кендалла и Мечке^[1], различные интегральные обозначения в целом применимы ко всем интегралам здесь и в других местах.

Ссылки [ править ]

^ a b c d e f g h i j k l m n o Д. Стоян, В. С. Кендалл, Дж. Меке и Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения , Второе издание, раздел 4.1, Wiley Chichester, 1995.
^ a b Дейли, ди-джей; Вер-Джонс, Д. (2003). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. DOI : 10.1007 / b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4.
^ а б в г М. Хенгги. Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Глава 2. Издательство Кембриджского университета, 2012.
^ Дейли, ди-джей; Вер-Джонс, Д. (2008). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. DOI : 10.1007 / 978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8.
^ Baddeley, A .; Barany, I .; Schneider, R .; Вейл, В. (2007). «Пространственные точечные процессы и их приложения». Стохастическая геометрия . Конспект лекций по математике. 1892 . п. 1. DOI : 10.1007 / 978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7.
^ Schneider, R .; Вейл, В. (2008). Стохастическая и интегральная геометрия . Вероятность и ее приложения. DOI : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4.
^ а б Дж. ФК Кингман . Пуассоновские процессы , том 3. Oxford University Press, 1992.
^ a b c Moller, J .; Пленге Ваагепетерсен, Р. (2003). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек . Монографии C & H / CRC по статистике и прикладной вероятности. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . DOI : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7.
↑ Молчанов, Илья (2005). Теория случайных множеств . Вероятность и ее приложения. DOI : 10.1007 / 1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3.
^ Grandell, Ян (1977). «Точечные процессы и случайные меры». Достижения в прикладной теории вероятностей . 9 (3): 502–526. DOI : 10.2307 / 1426111 . JSTOR 1426111 .
^ a b Baccelli, FO (2009). "Стохастическая геометрия и беспроводные сети: Том I Теория" (PDF) . Основы и тенденции в сети . 3 (3–4): 249–449. DOI : 10.1561 / 1300000006 .

[11] Как обсуждалось в главе 1 Стояна, Кендалла и Мечке^[1], различные интегральные обозначения в целом применимы ко всем интегралам здесь и в других местах.

[stoyan1995stochastic-1] ^ a b c d e f g h i j k l m n o Д. Стоян, В. С. Кендалл, Дж. Меке и Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения , Второе издание, раздел 4.1, Wiley Chichester, 1995.

[daleyPPI2003-2] Дейли, ди-джей; Вер-Джонс, Д. (2003). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. DOI : 10.1007 / b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4.

[haenggi2012stochastic-3] а б в г М. Хенгги. Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Глава 2. Издательство Кембриджского университета, 2012.

[daleyPPII2008-4] Дейли, ди-джей; Вер-Джонс, Д. (2008). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. DOI : 10.1007 / 978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8.

[baddeley2007spatial-5] Baddeley, A .; Barany, I .; Schneider, R .; Вейл, В. (2007). «Пространственные точечные процессы и их приложения». Стохастическая геометрия . Конспект лекций по математике. 1892 . п. 1. DOI : 10.1007 / 978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7.

[schneider2008stochastic-6] Schneider, R .; Вейл, В. (2008). Стохастическая и интегральная геометрия . Вероятность и ее приложения. DOI : 10.1007 / 978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4.

[kingman1992poisson-7] а б Дж. ФК Кингман . Пуассоновские процессы , том 3. Oxford University Press, 1992.

[moller2003statistical-8] Moller, J .; Пленге Ваагепетерсен, Р. (2003). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек . Монографии C & H / CRC по статистике и прикладной вероятности. 100 . CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . DOI : 10.1201 / 9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7.

[molvcanov2005theory-9] Молчанов, Илья (2005). Теория случайных множеств . Вероятность и ее приложения. DOI : 10.1007 / 1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3.

[grandell1977point-10] Grandell, Ян (1977). «Точечные процессы и случайные меры». Достижения в прикладной теории вероятностей . 9 (3): 502–526. DOI : 10.2307 / 1426111 . JSTOR 1426111 .

[BB1-12] Baccelli, FO (2009). "Стохастическая геометрия и беспроводные сети: Том I Теория" (PDF) . Основы и тенденции в сети . 3 (3–4): 249–449. DOI : 10.1561 / 1300000006 .

[1]