Момент мера

Вероятность
Контур Каталог статей Вероятностные Глоссарий Обозначение Журналы Категория
v т е

В вероятности и статистике , момент мера является математической величиной, функция или, точнее, мера , которая определяется по отношению к математическим объектам , известным как точечные процессы , которые являются типами случайных процессов часто используются в качестве математических моделей физических явлений , представимых в случайном порядке позиционированные точки во времени , пространстве или и там, и там. Меры Moment обобщать идею (сырья) моментов от случайных величин, поэтому часто возникают при изучении точечных процессов и связанных с ними полей. ^[1]

Примером меры момента является мера первого момента точечного процесса, часто называемая средней мерой или мерой интенсивности , которая дает ожидаемое или среднее количество точек точечного процесса, находящихся в некоторой области пространства. ^[2] Другими словами, если количество точек точечного процесса, расположенных в некоторой области пространства, является случайной величиной, то мера первого момента соответствует первому моменту этой случайной величины. ^[3]

Моментные меры занимают видное место при изучении точечных процессов ^{[1] [4] [5],} а также в смежных областях стохастической геометрии ^[3] и пространственной статистики ^{[5] [6]} , приложения которых можно найти во многих научных и инженерных дисциплинах. такие как биология , геология , физика и телекоммуникации . ^{[3] [4] [7]}

Обозначение точечного процесса [ править ]

Точечные процессы - это математические объекты, которые определены в некотором базовом математическом пространстве . Поскольку эти процессы часто используются для представления совокупностей точек, случайным образом разбросанных в физическом пространстве, времени или в обоих, то основное пространство обычно представляет собой d- мерное евклидово пространство, обозначаемое здесь , но они могут быть определены в более абстрактных математических пространствах. ^[1]${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

Точечные процессы имеют ряд интерпретаций, что отражается в различных типах обозначений точечных процессов . ^{[3] [7]} Например, если точка принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного как , то это можно записать так: ^[3]${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N},}$

и представляет точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор . В качестве альтернативы количество точек, расположенных в некотором борелевском множестве , часто записывается как: ^{[2] [3] [6]}${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ textstyle {N} (B),}$

который отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо. ^{[2] [3] [6]}

Определения [ править ]

n -я степень точечного процесса [ править ]

В течение некоторого целого числа , то ая мощность точечного процесса определяются следующим образом: ^[2]${\ Displaystyle \ textstyle п = 1,2, \ точки}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle {N} ^ {n} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} {N} (B_ {i})}$

где - набор необязательно непересекающихся борелевских множеств (in ), которые образуют -кратное декартово произведение множеств, обозначаемых . Символ обозначает стандартное умножение .${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, ..., B_ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ Displaystyle B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {п}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Pi}$

Обозначения отражают интерпретацию точечного процесса как случайной меры. ^[3]${\ displaystyle \ textstyle {N} (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

-Й мощность точечного процесса может быть эквивалентно определена как: ^[3]${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle {N} ^ {n} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ sum _ {(x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ in {N} } \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {1} _ {B_ {i}} (x_ {i})}$

где суммирование производится по всем - кортежи из (возможно , повторяющихся) точек, а обозначает индикаторную функцию такой , что является мерой Дирака . Это определение может быть противопоставлено с определением п -факториальных мощностей точечного процесса , для которого каждый п - кортежи состоят из п точек.${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbf {1}}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$

мера n-го момента [ править ]

-Й момент мера определяется как:${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=E[{N}^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})],}$

где E обозначает ожидание ( оператор ) точечного процесса . Другими словами, величина n-го момента - это математическое ожидание n-й степени некоторого точечного процесса.${\displaystyle \textstyle {N}}$

- Й момента мера точечного процесса является эквивалентным образом определена ^[3] , как:${\displaystyle \textstyle n\,}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\dots ,x_{n})M^{n}(dx_{1},\dots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\right],}$

где - любая неотрицательная измеримая функция на и сумма закончена - наборы точек, для которых разрешено повторение.${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{nd}}$${\displaystyle \textstyle n}$

Измерение первого момента [ править ]

Для некоторого борелевского множества B первый момент точечного процесса N равен:

${\displaystyle M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

где известна, среди прочего, как мера интенсивности ^[3] или средняя мера , ^[8] и интерпретируется как ожидаемое или среднее количество точек, найденных или расположенных в наборе .${\displaystyle \textstyle M^{1}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

Измерение второго момента [ править ]

Вторая мера момента для двух борелевских множеств и равна:${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{2}(A\times B)=E[{N}(A){N}(B)],}$

который для одного набора Бореля становится${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=(E[{N}(B)])^{2}+{\text{Var}}[{N}(B)],}$

где обозначает дисперсию случайной величины .${\displaystyle \textstyle {\text{Var}}[{N}(B)]}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$

Предыдущий термин дисперсии намекает на то, как меры моментов, такие как моменты случайных величин, могут использоваться для вычисления таких величин, как дисперсия точечных процессов. Еще одним примером является ковариация точечного процесса для двух борелевских множеств и , которая определяется выражением: ^[2]${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle {\text{Cov}}[{N}(A),{N}(B)]=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A)M^{1}(B)}$

Пример: точечный процесс Пуассона [ править ]

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности первая мера момента равна: ^[2]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

что для однородного точечного процесса Пуассона с постоянной интенсивностью означает:${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

где - длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, мера Лебега ) .${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

Для случая Пуассона с мерой вторая мера момента, определенная на множестве произведений, равна: ^[5]${\displaystyle \textstyle \Lambda }$${\displaystyle (B\times B)}$

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=\Lambda (B)+\Lambda (B)^{2}.}$

которое в однородном случае сводится к

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=\lambda |B|+(\lambda |B|)^{2}.}$

См. Также [ править ]

• Факторный момент
• Факторная мера момента
• Момент

Ссылки [ править ]