Процесс Морана

Процесс Moran или модель Морана представляет собой простой случайный процесс используется в биологии для описания конечных групп населения. Процесс назван в честь Патрика Морана , который первым предложил модель в 1958 году. ^[1] Его можно использовать для моделирования процессов увеличения разнообразия, таких как мутации, а также эффектов уменьшения разнообразия, таких как генетический дрейф и естественный отбор . Процесс может описывать вероятностную динамику в конечной популяции постоянного размера N, в которой два аллеляA и B соревнуются за доминирование. Эти два аллеля считаются настоящими репликаторами (т. Е. Объектами, которые делают копии самих себя).

На каждом временном шаге случайная особь (которая относится к типу A или B) выбирается для воспроизводства, а случайная особь выбирается для смерти; таким образом гарантируя, что размер популяции остается постоянным. Чтобы смоделировать выбор, один тип должен иметь более высокую приспособленность и, следовательно, с большей вероятностью будет выбран для воспроизводства. Одна и та же особь может быть выбрана для смерти и для воспроизводства на одном и том же этапе.

Нейтральный дрейф [ править ]

Нейтральный дрейф - это идея, что нейтральная мутация может распространяться по популяции, так что в конечном итоге исходный аллель теряется. Нейтральная мутация не приносит никаких преимуществ или недостатков в пригодности для своего носителя. Простой случай процесса Морана может описать это явление.

Процесс Морана определяется в пространстве состояний $i = 0, ..., N, в$ котором подсчитывается количество индивидов A. Поскольку количество особей A может изменяться максимум на единицу на каждом временном шаге, переход существует только между состоянием i и состоянием $i - 1, i$ и $i + 1$ . Таким образом, матрица перехода стохастического процесса имеет трехдиагональную форму, а вероятности перехода равны

{\ displaystyle {\ begin {align} P_ {i, i-1} & = {\ frac {Ni} {N}} {\ frac {i} {N}} \\ P_ {i, i} & = 1 -P_ {i, i-1} -P_ {i, i + 1} \\ P_ {i, i + 1} & = {\ frac {i} {N}} {\ frac {Ni} {N}} \\\ конец {выровнен}}}

Запись обозначает вероятность перехода из состояния i в состояние j . Чтобы понять формулы для вероятностей перехода, необходимо взглянуть на определение процесса, в котором говорится, что всегда один человек будет выбран для воспроизводства, а другой - для смерти. После того, как особи A вымерли, они никогда не будут повторно введены в популяцию, поскольку процесс не моделирует мутации (A не может быть повторно введен в популяцию после того, как они вымерли, и наоборот ) и, следовательно . По той же причине , население индивидуумов всегда будет оставаться N , когда они достигли этого число и захватили население и таким образом . Состояния 0 и ${\ Displaystyle P_ {я, j}}$ ${\ Displaystyle P_ {0,0} = 1}$ ${\ displaystyle P_ {N, N} = 1}$ N называются поглощающими, а состояния $1, ..., N - 1$ - переходными . Промежуточные вероятности перехода можно объяснить, рассматривая первый член как вероятность выбора особи, численность которого увеличится на один, а второй член как вероятность выбора другого типа для смерти. Очевидно, что если для размножения и для смерти выбран один и тот же тип, то численность одного типа не изменится.

В конце концов, население достигнет одного из поглощающих состояний и останется там навсегда. В переходных состояниях будут происходить случайные флуктуации, но в конечном итоге популяция A либо вымрет, либо достигнет фиксации. Это одно из наиболее важных отличий от детерминированных процессов, которые не могут моделировать случайные события. Ожидаемое значение и дисперсия числа особей А $Х (т)$ при временной точке т могут быть вычислены , когда начальное состояние $Х (0) = я$ Дано:

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ OperatorName {E} [X (t) \ mid X (0) = i] & = i \\\ operatorname {Var} (X (t) \ mid X (0) = i) & = {\ tfrac {2i} {N}} \ left (1 - {\ tfrac {i} {N}} \ right) {\ frac {1- \ left (1 - {\ frac {2} { N ^ {2}}} \ right) ^ {t}} {\ frac {2} {N ^ {2}}}} \ end {align}}}

Для математического вывода приведенного выше уравнения нажмите «показать», чтобы открыть

Расчет ожидаемого значения выполняется следующим образом. Написание $p = я / N,$

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ OperatorName {E} [X (t) \ mid X (t-1) = i] & = (i-1) P_ {i, i-1} + iP_ {i, i} + (i + 1) P_ {i, i + 1} \\ & = 2ip (1-p) + i (p ^ {2} + (1-p) ^ {2}) \\ & = i . \ end {выровнено}}}

Написание и , и применяя закон полного математического ожидания , Применяя аргумент неоднократно дает или ${\ Displaystyle Y = X (т)}$ $Z=X(t-1)$ $\operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]=\operatorname {E} [Z].$ $\operatorname {E} [X(t)]=\operatorname {E} [X(0)],$ $\operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]=i.$

Расчет дисперсии выполняется следующим образом. Написание у нас есть $V_{t}=\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i),$

{\begin{aligned}V_{1}&=E\left[X(1)^{2}\mid X(0)=i\right]-\operatorname {E} [X(1)\mid X(0)=i]^{2}\\&=(i-1)^{2}p(1-p)+i^{2}\left(p^{2}+(1-p)^{2}\right)+(i+1)^{2}p(1-p)-i^{2}\\&=2p(1-p)\end{aligned}}

Для всех $т$ , и одинаково распределены, поэтому их дисперсии равны. Написав, как прежде, и , применяя закон полной дисперсии , $(X(t)\mid X(t-1)=i)$ $(X(1)\mid X(0)=i)$ $Y=X(t)$ $Z=X(t-1)$

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} [\operatorname {Var} (Y\mid Z)]+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [Y\mid Z])\\&=E\left[\left({\frac {2Z}{N}}\right)\left(1-{\frac {Z}{N}}\right)\right]+\operatorname {Var} (Z)\\&=\left({\frac {2\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)\left(1-{\frac {\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\operatorname {Var} (Z).\end{aligned}}

Если получим $X(0)=i$

V_{t}=V_{1}+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)V_{t-1}.

Переписывая это уравнение как

V_{t}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\left(V_{t-1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t-1}\left(V_{1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)

дает

V_{t}=V_{1}{\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}

по желанию.

Вероятность того, что А достигнет фиксации, называется вероятностью фиксации . Для простого процесса Морана эта вероятность равна $x i = я / N .$

Поскольку все люди имеют одинаковую физическую форму, у них также есть одинаковые шансы стать предками всей популяции; эта вероятность $1 / N$ и, таким образом, сумма всех вероятностей i (для всех индивидов A) просто $я / N .$ Среднее время начала абсорбции в состоянии i определяется выражением

k_{i}=N\left[\sum _{j=1}^{i}{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}{\frac {i}{j}}\right]

Для математического вывода приведенного выше уравнения нажмите «показать», чтобы открыть

Среднее время, проведенное в состоянии j при запуске в состоянии i, которое определяется выражением

k_{i}^{j}=\delta _{ij}+P_{i,i-1}k_{i-1}^{j}+P_{i,i}k_{i}^{j}+P_{i,i+1}k_{i+1}^{j}

Здесь $δ ij$ обозначает дельту Кренекера . Это рекурсивное уравнение может быть решено с использованием новой переменной $q i,$ так что и, следовательно, переписать $P_{i,i-1}=P_{i,i+1}=q_{i}$ $P_{i,i}=1-2q_{i}$

k_{i+1}^{j}=2k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}

Используется переменная, и уравнение становится $y_{i}^{j}=k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}$

{\begin{aligned}y_{i+1}^{j}&=y_{i}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}\\\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})+(k_{2}^{j}-k_{1}^{j})+\cdots +(k_{m-1}^{j}-k_{m-2}^{j})+(k_{m}^{j}-k_{m-1}^{j})\\&=k_{m}^{j}-k_{0}^{j}\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=k_{m}^{j}\\\\y_{1}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})=k_{1}^{j}\\y_{2}^{j}&=y_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}\\y_{3}^{j}&=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}-{\frac {\delta _{2j}}{q_{2}}}\\&\vdots \\y_{i}^{j}&=k_{1}^{j}-\sum _{r=1}^{i-1}{\frac {\delta _{rj}}{q_{r}}}={\begin{cases}k_{1}^{j}&j\geq i\\k_{1}^{j}-{\frac {1}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\\\\k_{i}^{j}&=\sum _{m=1}^{i}y_{m}^{j}={\begin{cases}i\cdot k_{1}^{j}&j\geq i\\i\cdot k_{1}^{j}-{\frac {i-j}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\end{aligned}}

Зная это и $k_{N}^{j}=0$

q_{j}=P_{j,j+1}={\frac {j}{N}}{\frac {N-j}{N}}

мы можем рассчитать : $k_{1}^{j}$

{\begin{aligned}k_{N}^{j}=\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}=N\cdot k_{1}^{j}&-{\frac {N-j}{q_{j}}}=0\\k_{1}^{j}&={\frac {N}{j}}\end{aligned}}

Следовательно

k_{i}^{j}={\begin{cases}{\frac {i}{j}}\cdot k_{j}^{j}&j\geq i\\{\frac {N-i}{N-j}}\cdot k_{j}^{j}&j\leq i\end{cases}}

с . Теперь $k$ $i$ , полное время до фиксации, начиная с состояния i , может быть вычислено. $k_{j}^{j}=N$

{\begin{aligned}k_{i}=\sum _{j=1}^{N-1}k_{i}^{j}&=\sum _{j=1}^{i}k_{i}^{j}+\sum _{j=i+1}^{N-1}k_{i}^{j}\\&=\sum _{j=1}^{i}N{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}N{\frac {i}{j}}\end{aligned}}

При больших N приближение

\lim _{N\to \infty }k_{i}\approx -N^{2}\left[(1-x_{i})\ln(1-x_{i})+x_{i}\ln(x_{i})\right]

держит.

Выбор [ править ]

Если один аллель имеет преимущество в пригодности по сравнению с другим аллелем, он с большей вероятностью будет выбран для воспроизводства. Это может быть включено в модель, если индивидуумы с аллелем A имеют приспособленность, а индивидуумы с аллелем B имеют приспособленность $g$ $i,$ где i - количество особей типа A; таким образом описывая общий процесс рождения-смерти. Матрица перехода стохастического процесса имеет трехдиагональную форму, а вероятности перехода равны $f_{i}$

{\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {g_{i}(N-i)}{f_{i}\cdot i+g_{i}(N-i)}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {f_{i}\cdot i}{f_{i}\cdot i+g_{i}(N-i)}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}

Запись обозначает вероятность перехода из состояния i в состояние j . Чтобы понять формулы для вероятностей перехода, нужно еще раз взглянуть на определение процесса и увидеть, что соответствие входит только в первый член в уравнениях, который связан с воспроизведением. Таким образом, вероятность того, что особь A будет выбрана для воспроизводства, больше не i / N, а зависит от приспособленности A и, следовательно, $P_{i,j}$

{\frac {f_{i}\cdot i}{f_{i}\cdot i+g_{i}(N-i)}}.

Также в этом случае вероятность фиксации при запуске в состоянии i определяется повторением

x_{i}={\begin{cases}0&i=0\\\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}&1\leq i\leq N-1\\1&i=N\end{cases}}

А закрытая форма имеет вид

x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}\qquad {\text{(1)}}

где по определению и будет только для общего случая. $\gamma _{i}=P_{i,i-1}/P_{i,i+1}$ $g_{i}/f_{i}$

Для математического вывода приведенного выше уравнения нажмите «показать», чтобы открыть

Также в этом случае можно вычислить вероятности фиксации, но вероятности перехода не симметричны. Обозначения и используются. Вероятность фиксации может быть определена рекурсивно и введена новая переменная . $P_{i,i+1}=\alpha _{i},P_{i,i-1}=\beta _{i},P_{i,i}=1-\alpha _{i}-\beta _{i}$ $\gamma _{i}=\beta _{i}/\alpha _{i}$ $y_{i}=x_{i}-x_{i-1}$

{\begin{aligned}x_{i}&=\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}\\\beta _{i}(x_{i}-x_{i-1})&=\alpha _{i}(x_{i+1}-x_{i})\\\gamma _{i}\cdot y_{i}&=y_{i+1}\end{aligned}}

Теперь два свойства из определения переменной $y i$ можно использовать, чтобы найти решение в замкнутой форме для вероятностей фиксации:

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}y_{i}&=x_{m}&&1\\y_{k}&=x_{1}\cdot \prod _{l=1}^{k-1}\gamma _{l}&&2\\\Rightarrow \sum _{m=1}^{i}y_{m}&=x_{1}+x_{1}\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}=x_{i}&&3\end{aligned}}

Объединяя (3) и $x N = 1$ :

x_{1}\left(1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}\right)=x_{N}=1.

что подразумевает:

x_{1}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}

Это, в свою очередь, дает нам:

x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}

Этот общий случай, когда приспособленность A и B зависит от изобилия каждого типа, изучается в эволюционной теории игр .

Менее сложные результаты получаются, если предполагается постоянная разница пригодности r . Особи типа A воспроизводятся с постоянной скоростью r, а особи с аллелем B - со скоростью 1. Таким образом, если A имеет преимущество в приспособленности перед B, r будет больше единицы, в противном случае - меньше единицы. Таким образом, матрица перехода стохастического процесса имеет трехдиагональную форму, а вероятности перехода равны

{\begin{aligned}P_{0,0}&=1\\P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {r\cdot i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\P_{N,N}&=1.\end{aligned}}

В этом случае является постоянным фактором для каждого состава населения, и, таким образом, вероятность фиксации из уравнения (1) упрощается до $\gamma _{i}=1/r$

x_{i}={\frac {1-r^{-i}}{1-r^{-N}}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}=\rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}\qquad {\text{(2)}}

где вероятность фиксации одного мутанта A в популяции, состоящей из всех B , часто представляет интерес и обозначается $ρ$ .

Кроме того, в случае выбора, ожидаемое значение и дисперсия числа А лиц могут быть вычислены

{\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\\\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=p(1-p){\dfrac {(s+1)+(ps+1)^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}

где $p = я / N,$ и $r = 1 + s$ .

Для математического вывода приведенного выше уравнения нажмите «показать», чтобы открыть

Для ожидаемого значения расчет выполняется следующим образом

{\begin{aligned}\operatorname {E} [\Delta (1)\mid X(0)=i]&=(i-1-i)\cdot P_{i,i-1}+(i-i)\cdot P_{i,i}+(i+1-i)\cdot P_{i,i+1}\\&=-{\frac {N-i}{ri+N-i}}{\frac {i}{N}}+{\frac {ri}{ri+N-i}}{\frac {N-i}{N}}\\&=-{\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {i(N-i)}{(ri+N-i)N}}+{\frac {si(N-i)}{(ri+N-i)N}}\\&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\\\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\end{aligned}}

Для дисперсии расчет выполняется следующим образом с использованием дисперсии одного шага.

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=\operatorname {Var} (X(t))+\operatorname {Var} (\Delta (t+1)\mid X(t)=i)\\&=0+E\left[\Delta (t+1)^{2}\mid X(t)=i\right]-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=(i-1-i)^{2}\cdot P_{i,i-1}+(i-i)^{2}\cdot P_{i,i}+(i+1-i)^{2}\cdot P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=P_{i,i-1}+P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&={\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {(N-i)i(1+s)}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\left(ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\right)^{2}\\&=p(1-p){\frac {2+s(ps+1)}{(ps+1)^{2}}}-p(1-p){\frac {ps^{2}(1-p)}{(ps+1)^{2}}}\\&=p(1-p){\dfrac {2+2ps+s+p^{2}s^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}

Скорость эволюции [ править ]

В популяции, состоящей из всех особей B , единственный мутант A захватит всю популяцию с вероятностью

\rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}.\qquad {\text{(2)}}

Если частота мутаций (для перехода от аллеля B к аллелю A ) в популяции равна u, то скорость, с которой один член популяции будет мутировать в A , определяется как $N \times u,$ а скорость, с которой вся популяция переходит от все B ко всем A - это скорость возникновения одного мутанта A , умноженная на вероятность того, что он захватит популяцию ( вероятность фиксации ):

R=N\cdot u\cdot \rho =u\quad {\text{if}}\quad \rho ={\frac {1}{N}}.

Таким образом, если мутация является нейтральной (т.е. вероятность фиксации составляет всего 1 / N ), то скорость, с которой возникает аллель и захватывает популяцию, не зависит от размера популяции и равна скорости мутации. Этот важный результат является основой нейтральной теории эволюции и предполагает, что количество наблюдаемых точечных мутаций в геномах двух разных видов будет просто выражаться скоростью мутаций, умноженной в два раза на время, прошедшее с момента расхождения . Таким образом, нейтральная теория эволюции обеспечивает молекулярные часы , учитывая, что выполняются предположения, которые могут не соответствовать действительности.

См. Также [ править ]

Слабый отбор

Ссылки [ править ]

^ Moran, PAP (1958). «Случайные процессы в генетике». Математические труды Кембриджского философского общества . 54 (1): 60–71. DOI : 10.1017 / S0305004100033193 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Новак, Мартин А. (2006). Эволюционная динамика: изучение уравнений жизни . Белкнап Пресс. ISBN 978-0-674-02338-3.
Моран, Патрик Альфред Пирс (1962). Статистические процессы эволюционной теории . Оксфорд: Clarendon Press.

Внешние ссылки [ править ]

«Эволюционная динамика на графах» .

[1] Moran, PAP (1958). «Случайные процессы в генетике». Математические труды Кембриджского философского общества . 54 (1): 60–71. DOI : 10.1017 / S0305004100033193 .

[1]

vтеСтохастические процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Ветвящийся процесс Китайский ресторанный процесс Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайная прогулка Со стертой петлей Избегать себя Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бесселевский процесс Процесс рождения – смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробное Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга – Виота Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хокса Процесс охоты Системы взаимодействующих частиц Ито диффузия Процесс Ито Скачок диффузии Перейти процесс Леви процесс Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингейл Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Вариант гамма-процесса Винеровский процесс Венская колбаса
Обе	Ветвящийся процесс Модель Гальвеса – Лёхербаха Гауссовский процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Отличия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссовское случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Процесс Питмана – Йорка Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Модель авторегрессии (AR) Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Блэк – Дерман – Той Черный – Карасинский Блэк – Скоулз Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман – Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Heston Хо – Ли Корпус – Белый Рынок LIBOR Рендлман – Барттер Волатильность SABR Вашичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Рисковый процесс Спарре – Андерсон
Модели организации очередей	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания M / G / 1 M / M / 1 М / м / ц
Характеристики	Càdlàg тропы Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Заменяемый Валочно-непрерывный Гаусс – Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы Дуба о сходимости мартингалов Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый / сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля или единицы ( Блюменталь , Борель – Кантелли , Энгельберт – Шмидт , Хьюитт – Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Буркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкроссинг Дуба Кунита – Ватанабэ
Инструменты	Формула Камерона – Мартина Сходимость случайных величин Показательная величина Далеана-Даде Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Теорема Дуба об необязательной остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Генератор бесконечно малых Ито интегральный Лемма Ито Теорема Карунена – Лоэва Колмогорова теорема непрерывности Колмогорова теорема о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявэна Теорема о мартингальном представлении Теорема о необязательной остановке Теорема Прохорова Квадратичная вариация Принцип отражения Скороход интеграл Теорема Скорохода о представлении Пространство Скорохода Конверт Снелла Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винеровское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория массового обслуживания Теория обновления Теория разорения Обработка сигналов Статистика Система на чип- дизайне Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория