Конформная симметрия

В математической физике , то конформной симметрии в пространстве - времени выражается в расширении группы Пуанкаре . Расширение включает специальные конформные преобразования и растяжения . В трех пространственных плюс одном временном измерении конформная симметрия имеет 15 степеней свободы : десять для группы Пуанкаре, четыре для специальных конформных преобразований и одну для растяжения.

Гарри Бейтман и Эбенезер Каннингем были первыми, кто изучил конформную симметрию уравнений Максвелла . Они назвали общее выражение конформной симметрии преобразованием сферической волны . Общая теория относительности в двух измерениях пространства-времени также обладает конформной симметрией. ^[1]

Генераторы [ править ]

Конформная группа имеет следующее представление : ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}}$

где находятся генераторы Лоренца , генерирует трансляции , генерирует преобразования масштабирования (также известные как дилатации или расширения) и генерирует специальные конформные преобразования .${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle P_{\mu }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle K_{\mu }}$

Коммутационные отношения [ править ]

В коммутационные соотношения следующим образом : ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$

другие коммутаторы исчезают. Здесь есть метрика Минковского тензор.${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Кроме того, является скаляром и ковариантным вектором относительно преобразований Лоренца .${\displaystyle D}$${\displaystyle K_{\mu }}$

Специальные конформные преобразования даны в ^[3]

${\displaystyle x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$

где - параметр, описывающий преобразование. Это специальное конформное преобразование также можно записать как , где${\displaystyle a^{\mu }}$${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$

что показывает, что он состоит из инверсии, за которой следует перевод, за которым следует вторая инверсия.

Координатная сетка до специального конформного преобразования

Та же сетка после специального конформного преобразования

В двумерном пространстве-времени преобразования конформной группы являются конформными преобразованиями . Их бесконечно много .

В более чем двух измерениях евклидовы конформные преобразования отображают круги в окружности, а гиперсферы в гиперсферы с прямой линией, считающейся вырожденной окружностью, а гиперплоскость - вырожденной гиперокружностью.

В более чем двух лоренцевых измерениях конформные преобразования преобразуют нулевые лучи в нулевые лучи, а световые конусы - в световые конусы, причем нулевая гиперплоскость является вырожденным световым конусом .

Приложения [ править ]

Конформная теория поля [ править ]

В релятивистских квантовых теориях поля возможность симметрий строго ограничена теоремой Коулмана – Мандулы при физически разумных предположениях. Максимально возможная глобальная группа симметрии из не- суперсимметричного взаимодействующего теории поля является прямым произведением конформной группы с внутренней группой . ^[4] Такие теории известны как конформные теории поля .

Фазовые переходы второго рода [ править ]

Одно из конкретных приложений - это критические явления в системах с локальным взаимодействием . Флуктуации ^{[ необходимо пояснение ]} в таких системах конформно инвариантны в критической точке. Это позволяет классифицировать классы универсальности фазовых переходов в терминах конформных теорий поля.

Конформная инвариантность также присутствует в двумерной турбулентности при высоких числах Рейнольдса .

Физика высоких энергий [ править ]

Многие теории, изучаемые в физике высоких энергий, допускают конформную симметрию ^{[ почему? ]} . Знаменитый ^{[ почему? ]} примером является N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса . Кроме того, мировой лист в теории струн описывается двумерной конформной теорией поля в сочетании с двумерной гравитацией.

См. Также [ править ]

• Конформная карта
• Конформная группа
• Теорема Коулмана – Мандулы
• Ренормализационная группа
• Масштабная инвариантность
• Суперконформная алгебра
• Конформное уравнение Киллинга

Ссылки [ править ]