В математике , А гомотетия (или homothecy или однородная дилатация ) представляет собой преобразование из аффинного пространства определяется точкой S , называется его центр и ряд отличен от нуля λ называется его отношение , которое посылает
другими словами, он фиксирует S и отправляет каждый M в другую точку N , так что сегмент SN находится на той же линии, что и SM , но масштабируется с коэффициентом λ . [1] В евклидовой геометрии гомотетии - это сходства, которые фиксируют точку и либо сохраняют (если λ > 0 ), либо меняют (если λ <0 ) направление всех векторов. Вместе с переводами все гомотетии аффинного (или евклидова) пространства образуют группу , группу расширений или гомотетий-переводов . Это именно те аффинные преобразования с тем свойством , что образ каждой линии L является линией параллельной к L .
В проективной геометрии гомотетическое преобразование - это преобразование подобия (т. Е. Фиксирующее данную эллиптическую инволюцию), которое оставляет линию на бесконечности поточечно инвариантной . [2]
В евклидовой геометрии гомотетия отношения λ умножает расстояния между точками на | λ | и все площади на λ 2 . Здесь | λ | - коэффициент увеличения, или коэффициент расширения, или масштабный коэффициент, или коэффициент подобия . Такое преобразование можно назвать увеличением, если масштабный коэффициент превышает 1. Вышеупомянутая неподвижная точка S называется гомотетическим центром, или центром подобия, или центром подобия .
Термин, придуманный французским математиком Мишель Шаля , происходит от двух греческих элементов: префикс гомо- ( όμο ), что означает «похожи», и тезис ( Θέσις ), что означает «место». Он описывает отношения между двумя фигурами одинаковой формы и ориентации. Например, две матрешки, смотрящие в одну сторону, можно считать гомотетичными.
Гомотетия и равномерное масштабирование
Если центр гомотетии S совпадает с началом координат O векторного пространства ( S ≡ O ), то каждая гомотетия с отношением λ эквивалентна равномерному масштабированию с тем же коэффициентом, которое отправляет
Как следствие, в конкретном случае, когда S ≡ O , гомотетия становится линейным преобразованием , которое сохраняет не только коллинеарность точек (прямые линии отображаются в прямые линии), но также сложение векторов и скалярное умножение.
Образ точки ( x , y ) после гомотетии с центром ( a , b ) и отношением λ задается формулами ( a + λ ( x - a ), b + λ ( y - b )).
Смотрите также
- Масштабирование (геометрия) аналогичное понятие в векторных пространствах
- Гомотетический центр , центр гомотетической трансформации, превращающей одну из пары форм в другую.
- Гипотеза Хадвигера о количестве строго меньших гомотетических копий выпуклого тела, которые могут понадобиться для его покрытия
- Гомотетическая функция (экономика) , функция вида f ( U ( y )), в которой U - однородная функция, а f - монотонно возрастающая функция .
Заметки
- ^ Адамар , стр. 145)
- ^ Таллер (1967 , стр. 119)
Рекомендации
- Адамар Ж. , уроки в планиметрии
- Мезерв, Брюс Э. (1955), "Гомотетические преобразования", Основные концепции геометрии , Addison-Wesley , стр. 166–169.
- Таллер, Аннита (1967), Современное введение в геометрию , Университетская серия по математике для студентов, Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Co.
Внешние ссылки
- Homothety , интерактивный апплет от Cut-the-Knot .