В геометрии , A гомотетичны центр (называемый также центром подобия или центром подобия ) является точкой , из которой по крайней мере два геометрически подобные цифры можно рассматривать как расширение или сжатие друг от друга. Если центр внешний , две фигуры прямо похожи друг на друга; их углы имеют одинаковое направление вращения. Если центр внутренний , две фигуры являются зеркальными отражениями друг друга; их углы имеют противоположный смысл.
Общие многоугольники
Если две геометрические фигуры имеют гомотетический центр, они похожи друг на друга; другими словами, они должны иметь одинаковые углы в соответствующих точках и отличаться только их относительным масштабом. Гомотетический центр и две фигуры не обязательно должны лежать в одной плоскости; они могут быть связаны проекцией из гомотетического центра.
Гомотетические центры могут быть внешними или внутренними. Если центр находится внутри, две геометрические фигуры являются зеркальным отражением друг друга; на техническом языке они имеют противоположную хиральность . Угол по часовой стрелке на одном рисунке соответствует углу против часовой стрелки на другом. И наоборот, если центр внешний, две фигуры прямо похожи друг на друга; их углы имеют одинаковый смысл.
Круги
Круги геометрически подобны друг другу и зеркально симметричны. Следовательно, пара окружностей имеет оба типа гомотетических центров, внутренний и внешний, если только центры не равны или не равны радиусы; эти исключительные случаи рассматриваются после общего положения . Эти два центра гомотетики лежат на линии, соединяющей центры двух данных окружностей, которая называется линией центров (рис. 3). Также могут быть включены круги с нулевым радиусом (см. Исключительные случаи), и также можно использовать отрицательный радиус, переключая внешний и внутренний.
Вычислительные центры гомотетики
Для данной пары кругов внутренние и внешние центры гомотетики могут быть найдены различными способами. В аналитической геометрии внутренний гомотетический центр представляет собой средневзвешенное значение центров кругов, взвешенное по радиусу противоположной окружности - расстояние от центра круга до внутреннего центра пропорционально этому радиусу, поэтому взвешивание пропорционально противоположному радиусу. Обозначение центров кругов а также от а также а их радиусы на а также и обозначая центр это:
Внешний центр можно вычислить по тому же уравнению, но с учетом одного из радиусов отрицательным; любой из них дает одно и то же уравнение, а именно:
В более общем смысле, если взять оба радиуса с одинаковым знаком (оба положительные или оба отрицательные), получится внутренний центр, а радиусы с противоположными знаками (один положительный, а другой отрицательный) - внешний центр. Обратите внимание, что уравнение для внутреннего центра справедливо для любых значений (если оба радиуса равны нулю или один являются отрицательными для другого), но уравнение для внешнего центра требует, чтобы радиусы были разными, в противном случае оно включает деление на ноль.
В синтетической геометрии рисуются два параллельных диаметра, по одному на каждый круг; они образуют тот же угол α с линией центров. Прямые A 1 A 2 и B 1 B 2, проведенные через соответствующие концы этих радиусов, которые являются гомологичными точками, пересекают друг друга и линию центров во внешнем гомотетическом центре. И наоборот, линии A 1 B 2 и B 1 A 2, проведенные через одну конечную точку и противоположную конечную точку своего аналога, пересекают друг друга и линию центров во внутреннем гомотетическом центре.
В качестве предельного случая этой конструкции прямая, касательная к обеим окружностям ( прямая касательная ), проходит через один из центров гомотетики, поскольку она образует прямые углы с обоими соответствующими диаметрами, которые, таким образом, параллельны; см. касательные к двум окружностям . Если круги попадают на противоположные стороны линии, она проходит через внутренний гомотетический центр, как в A 2 B 1 на рисунке выше. И наоборот, если круги попадают на одну сторону от линии, она проходит через внешний гомотетический центр (не показан).
Особые случаи
Если окружности имеют одинаковый радиус (но разные центры), у них нет внешнего гомотетического центра в аффинной плоскости : в аналитической геометрии это приводит к делению на ноль, тогда как в синтетической геометрии линии а также параллельны линии центров (как для секущих, так и для боковых касательных) и, следовательно, не имеют пересечения. Внешний центр может быть определен на проективной плоскости как бесконечно удаленная точка, соответствующая наклону этой прямой. Это также предел внешнего центра, если центры окружностей фиксированы, а радиусы меняются до тех пор, пока они не станут равными.
Если круги имеют один и тот же центр, но разные радиусы, и внешний, и внутренний совпадают с общим центром кругов. Это можно увидеть из аналитической формулы, и это также предел двух гомотетических центров, поскольку центры двух окружностей меняются до совпадения, сохраняя радиусы равными. Однако здесь нет линии центров, и синтетическая конструкция терпит неудачу, поскольку две параллельные линии совпадают.
Если один радиус равен нулю, а другой не равен нулю (точка и окружность), и внешний, и внутренний центр совпадают с точкой (центром окружности нулевого радиуса).
Если два круга идентичны (один и тот же центр, одинаковый радиус), внутренний центр является их общим центром, но нет четко определенного внешнего центра - собственно, функция из пространства параметров двух кругов на плоскости к внешнему центру имеет несъемный разрыв на геометрическом месте одинаковых окружностей. В пределе двух окружностей с одинаковым радиусом, но с разными центрами, движущимися к одному и тому же центру, внешний центр - это бесконечно удаленная точка, соответствующая наклону линии центров, который может быть любым, поэтому для всех возможных ограничений не существует. пары таких кругов.
И наоборот, если оба радиуса равны нулю (две точки), но точки различны, внешний центр можно определить как бесконечно удаленную точку, соответствующую наклону линии центров, но четко определенного внутреннего центра нет.
Гомологические и антигомологические точки
В общем, луч, исходящий из гомотетического центра, будет пересекать каждую из своих окружностей в двух местах. Из этих четырех точек две называются гомологичными, если проведенные к ним радиусы составляют один и тот же угол с линией, соединяющей центры, например, точки Q и Q ' на рисунке 4. Точки, которые коллинеарны по отношению к гомотетическому центру, но которые не гомологичны называются antihomologous , [1] , например, точки Q и P ' на рисунке 4.
Пары антигомологических точек лежат на окружности.
Когда два луча из одного и того же гомотетического центра пересекают окружности, каждый набор антигомологических точек лежит на окружности.
Рассмотрим треугольники EQS и EQ′S ′ (рисунок 4).
Они похожи, потому что оба имеют общий угол ∠QES = ∠Q′ES ′ ипоскольку E - гомотетический центр. Из этого подобия следует, что ∠ESQ = ∠ES′Q ′ = α . По теореме о вписанном угле ∠EP′R ′ = ∠ES′Q ′ . ∠QSR '= 180 ° -α , так как это дополнительное к ∠ESQ . В четырехугольнике QSR′P ′ ∠QSR ′ + ∠QP′R ′ = 180 ° -α + α = 180 °, что означает, что его можно вписать в круг . Из теоремы о секансе следует, что EQ · EP ′ = ES · ER ′.
Таким же образом можно показать, что PRS′Q ′ можно вписать в круг и EP · EQ ′ = ER · ES ′.
Для внутреннего гомотетического центра I доказательство аналогично .
PIR ~ P′IR ′, то ∠RPI = ∠IP′R ′ = α . ∠RS′Q ′ = ∠PP′R ′ = α (теорема о вписанном угле). Сегмент RQ ′ виден под одним и тем же углом от P и S ′, что означает, что R, P, S ′ и Q ′ лежат на окружности. Тогда из теоремы о пересечении хорд IP · IQ ′ = IR · IS ′. Аналогично QSP′R ′ можно вписать в круг и IQ · IP ′ = IS · IR ′.
Связь с радикальной осью
Две окружности имеют радикальную ось , которая представляет собой линию точек, от которых касательные к обеим окружностям имеют одинаковую длину. В более общем смысле, каждая точка на радикальной оси обладает тем свойством, что ее степени относительно окружностей равны. Радикальная ось всегда перпендикулярна линии центров, и если две окружности пересекаются, их радикальная ось является линией, соединяющей их точки пересечения. Для трех окружностей можно определить три радикальные оси, по одной для каждой пары окружностей ( C 1 / C 2 , C 1 / C 3 и C 2 / C 3 ); примечательно то, что эти три радикальные оси пересекаются в одной точке - радикальном центре . Все касательные, проведенные от радикального центра к трем окружностям, будут иметь одинаковую длину.
Любые две пары антигомологических точек можно использовать, чтобы найти точку на радикальной оси. Рассмотрим два луча, исходящие из внешнего гомотетического центра E на рисунке 4. Эти лучи пересекают два заданных круга (зеленый и синий на рисунке 4) в двух парах антигомологических точек, Q и P ' для первого луча, и S и R ′ Для второго луча. Эти четыре точки лежат на одной окружности, которая пересекает обе заданные окружности. По определению линия QS является радикальной осью нового круга с заданным зеленым кружком, тогда как линия P′R ′ является радикальной осью нового круга с заданным синим кружком. Эти две прямые пересекаются в точке G , которая является радикальным центром новой окружности и двух данных окружностей. Следовательно, точка G также лежит на радикальной оси двух данных окружностей.
Касательные круги и антигомологические точки
Для каждой пары антигомологических точек двух окружностей существует третья окружность, которая касается данных и касается их в антигомологических точках.
Верно и обратное - каждая окружность, касающаяся двух других окружностей, касается их в паре антигомологических точек.
Пусть наши два круга имеют центры O 1 и O 2 (рис. 5). E - их внешний гомотетический центр. Построим произвольный луч из E, который пересекает две окружности в P, Q, P ′ и Q ′ . Продлите O 1 Q и O 2 P ', пока они не пересекутся в T 1 . Легко показать, что треугольники O 1 PQ и O 2 P′Q ′ подобны в силу гомотетии . Они также равнобедренные, потому что O 1 P = O 1 Q ( радиус ), поэтому ∠O 1 PQ = ∠O 1 QP = ∠O 2 P′Q ′ = ∠O 2 Q′P ′ = ∠T 1 QP ′ = ∠ Т 1 P′Q . Таким образом , Т 1 P'Q также равнобедренного и окружность может быть построена с центром T 1 и радиусом T 1 Р '= Т 1 Q . Эта окружность касается двух данных окружностей в точках Q и P ′ .
Доказательство для другой пары антигомологических точек ( P и Q ′ ), а также в случае внутреннего гомотетического центра аналогично.
Если мы построим касательные окружности для каждой возможной пары антигомологических точек, мы получим два семейства окружностей - по одному для каждого гомотетического центра. Семейство окружностей внешнего гомотетического центра таково, что каждая касательная окружность либо содержит обе заданные окружности, либо не содержит ни одной (рис. 6). С другой стороны, круги из другого семейства всегда содержат только один из данных кругов (рисунок 7).
Все окружности из касательного семейства имеют общий радикальный центр, совпадающий с гомотетическим центром.
Чтобы показать это, рассмотрим два луча из центра гомотетии, пересекающие данные окружности (рис. 8). Существуют две касательные окружности T 1 и T 2, которые касаются данных окружностей в антигомологических точках. Как мы уже показали, эти точки лежат на окружности C и, таким образом, два луча являются радикальными осями для C / T 1 и C / T 2 . Тогда точка пересечения двух радикальных осей также должна принадлежать радикальной оси T 1 / T 2 . Эта точка пересечения является центром гомотетичны Е .
Если две касательные окружности касаются коллинеарных пар антигомологических точек - как на рисунке 5 - то из-за гомотетии. Таким образом, степени E относительно двух касательных окружностей равны, что означает, что E принадлежит радикальной оси.
Гомотетические центры трех кругов
Любая пара кругов имеет два центра подобия, следовательно, три круга будут иметь шесть центров подобия, по два для каждой отдельной пары данных кругов. Примечательно, что эти шесть точек лежат на четырех линиях, по три точки на каждой линии. Вот один из способов показать это.
Рассмотрим плоскость трех окружностей (рисунок 9). Сместите каждую центральную точку перпендикулярно плоскости на расстояние, равное соответствующему радиусу. Центры могут быть смещены в любую сторону от плоскости. Три точки смещения определяют одну плоскость. На этой плоскости мы проводим по три линии через каждую пару точек. Прямые пересекают плоскость окружностей в точках H AB , H BC и H AC . Поскольку геометрическое место точек, общих для двух различных и непараллельных плоскостей, является прямой, то эти три точки обязательно лежат на такой прямой. Из подобия треугольников H AB AA ′ и H AB BB ′ получаем, что( r A, B - радиусы окружностей) и, таким образом, H AB фактически является центром гомотетики соответствующих двух окружностей. Мы можем сделать то же самое для H BC и H AC .
Повторение описанной выше процедуры для различных комбинаций гомотетических центров (в нашем методе это определяется стороной, на которую мы смещаем центры окружностей) даст в общей сложности четыре линии - по три гомотетических центра на каждой линии (рис. 10).
Вот еще один способ доказать это.
Пусть C 1 и C 2 - пара сопряженных окружностей, касающихся всех трех данных окружностей (рис. 11). Под сопряжением мы подразумеваем, что обе касательные окружности принадлежат одному семейству по отношению к любой из данных пар окружностей. Как мы уже видели, радикальная ось любых двух касательных окружностей из одного семейства проходит через гомотетический центр двух данных окружностей. Поскольку касательные окружности являются общими для всех трех пар данных окружностей, их центры гомотетики все принадлежат радикальной оси C 1 и C 2, например, они лежат на одной прямой.
Это свойство используется в общем решении Джозефом Диасом Жергонном проблемы Аполлония . Учитывая три окружности, можно найти центры гомотетики и, таким образом, радикальную ось пары окружностей решения. Конечно, существует бесконечно много кругов с одинаковой радикальной осью, поэтому проводится дополнительная работа, чтобы точно определить, какие две окружности являются решением.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Weisstein, Eric W., Antihomologous очки , MathWorld - A Wolfram Web Resource
- Джонсон Р.А. (1960). Расширенная евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга . Нью-Йорк: Dover Publications.
- Кункель, Пол (2007), «Проблема касания Аполлония: три взгляда» (PDF) , Бюллетень BSHM : Журнал Британского общества истории математики , 22 (1): 34–46, DOI : 10.1080 / 17498430601148911