Сила точки

Рисунок 1. Иллюстрация мощности точки Р в окружности с центром в точке O . Расстояние s показано оранжевым цветом, радиус r - синим, а касательная линия PT - красным.

В начальной плоскости геометрии , то мощность точки является реальным числом ч , что отражает относительное расстояние данной точки от заданной окружности. В частности, мощность точки P относительно окружности O радиуса r определяется (рис. 1).

${\ displaystyle h ^ {2} = s ^ {2} -r ^ {2}}$

где s - расстояние между точкой P и центром O круга. Согласно этому определению, точки внутри круга имеют отрицательную мощность, точки снаружи имеют положительную мощность, а точки на круге имеют нулевую мощность. Для внешних точек мощность равна квадрату длины касательной от точки к окружности. Сила точки также известна как сила круга точки или сила круга по отношению к точке.

Мощность точки Р (см на фиг.1) может быть эквивалентно определена как произведение расстояний от точки P до двух точек пересечения любой прямой , проходящей через P . Например, на рисунке 1 луч, исходящий из точки P, пересекает круг в двух точках, M и N , а касательный луч пересекает круг в одной точке T ; горизонтальный луч из точки P пересекает круг в точках A и B , конечных точках диаметра. Их соответствующие произведения расстояний равны друг другу и степени точки P в этом круге.

${\ displaystyle \ mathbf {\ overline {PT}} ^ {2} = \ mathbf {\ overline {PM}} \ times \ mathbf {\ overline {PN}} = \ mathbf {\ overline {PA}} \ times \ mathbf {\ overline {PB}} = (sr) \ times (s + r) = s ^ {2} -r ^ {2} = h ^ {2}.}$

Это равенство иногда называют «теоремой о секущей и касательной» , «теоремой о пересечении хорд» или «теоремой о степени точки» . В случае, когда P лежит внутри круга, две точки пересечения будут по разные стороны от прямой, проходящей через P ; можно считать, что линия имеет направление, так что одно из расстояний отрицательно, и, следовательно, произведение двух.

Степень точки используется во многих геометрических определениях и доказательствах. Например, радикальная ось двух данных окружностей - это прямая линия, состоящая из точек, имеющих одинаковую мощность с обеими окружностями. Для каждой точки на этой прямой существует уникальный круг с центром в этой точке, который ортогонально пересекает оба заданных круга; эквивалентно, касательные равной длины могут быть проведены из этой точки к обеим заданным окружностям. Точно так же радикальный центр трех окружностей является единственной точкой с равной мощностью для всех трех окружностей. Существует уникальная окружность с центром в радикальном центре, которая пересекает все три заданные окружности ортогонально, что эквивалентно касательной, проведенной от радикального центра ко всем трем окружностям, равной длины. Схема питания набора кругов делит плоскость на области, внутри которых круг, минимизирующий мощность, является постоянным.

В более общем плане французский математик Эдмон Лагер определил степень точки по отношению к любой алгебраической кривой аналогичным образом.

Ортогональный круг [ править ]

Рисунок 2: пунктирная окружность с центром в точке P и пересекает заданный круг (твердый черный) под прямым углом, то есть под прямым углом, в точке Т . Квадрат радиуса ортогонального круга равен степени P относительно данного круга.

Для точки P вне круга, степень h = R ² , квадрат радиуса R нового круга с центром в P, который пересекает данную окружность под прямым углом, то есть ортогонально (рисунок 2). Если два круга встречаются под прямым углом в точке T , то радиусы, проведенные к T от P и от O , центра данного круга, также пересекаются под прямым углом (синие отрезки линии на рисунке 2). Следовательно, сегмент радиусной прямой каждого круга касается другого круга. Эти отрезки образуют прямоугольный треугольник с отрезком, соединяющим точки O и P.. Следовательно, по теореме Пифагора ,

${\ Displaystyle R ^ {2} = s ^ {2} -r ^ {2} = h \,}$

где s - это снова расстояние от точки P до центра O данного круга (сплошной черный цвет на рисунке 2).

Это построение ортогональной окружности полезно для понимания радикальной оси двух окружностей и радикального центра трех окружностей. Точка T может быть построена - и, таким образом, радиус R и степень h найдены геометрически - путем нахождения пересечения данной окружности с полукругом (красным на рисунке 2) с центром в средней точке O и P и проходящим через обе точки. точки. Кроме того , можно показать , что точка Q является обратным из Р по отношению к данной окружности.

Теоремы [ править ]

Теорема о силе точки , принадлежащая Якобу Штайнеру , утверждает, что для любой прямой, проходящей через A, пересекающей окружность c в точках P и Q , степень точки относительно окружности c дается с точностью до знака произведением

${\ Displaystyle AP \ cdot AQ \,}$

длины отрезков от A до P и от A до Q со знаком плюс, если A находится вне круга, и со знаком минус в противном случае: если A находится на круге, произведение равно нулю. В предельном случае, когда прямая касается окружности, P = Q , и результат немедленно следует из теоремы Пифагора .

В двух других случаях, когда A находится внутри круга или A находится вне круга, сила точечной теоремы имеет два следствия .

• Теорема о хорде , теорема о пересечении хорд или теорема о хорде-хорде утверждают, что если A - точка внутри окружности, а PQ и RS - хорды окружности, пересекающиеся в A , то

${\ Displaystyle AP \ cdot AQ = AR \ cdot AS \,}$

Общее значение этих произведений - это отрицательная величина мощности точки А относительно окружности.

• Теорема о пересекающихся секущих (или теорема о секущей степени ) утверждает, что если PQ и RS являются хордами окружности, которые пересекаются в точке A за пределами окружности, то

${\ Displaystyle AP \ cdot AQ = AR \ cdot AS \,}$

В этом случае обычное значение такое же, как степень А по отношению к кругу.

• Теорема о касательной-секансе является частным случаем теоремы о пересекающихся секущих, где точки Q и P совпадают, т. Е.

${\ Displaystyle AP \ cdot AQ = AR \ cdot AS \,}$

${\ Displaystyle AP \ cdot AP = AR \ cdot AS \,}$

${\ Displaystyle AP ^ {2} = AR \ cdot AS \,}$

Это полезно в таких приложениях, как определение расстояния до точки P на горизонте путем выбора точек R и S для образования хорды диаметра, так что RS - это диаметр планеты, AR - высота над планетой, а AP расстояние до горизонта.

Продукт Дарбу [ править ]

Мощность точки - это частный случай произведения Дарбу между двумя окружностями, которое задается формулой

${\ displaystyle \ left | A_ {1} A_ {2} \ right | ^ {2} -r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} \,}$

где A ₁ и A ₂ - центры двух окружностей, а r ₁ и r ₂ - их радиусы. Сила точки возникает в частном случае, когда один из радиусов равен нулю.

Если две окружности ортогональны, произведение Дарбу обращается в нуль.

Если два круга пересекаются, то их произведение Дарбу равно

${\ displaystyle 2r_ {1} r_ {2} \ cos \ varphi \,}$

где φ - угол пересечения.

Теорема Лагерра [ править ]

Лагерр определил мощность точки P относительно алгебраической кривой степени n как произведение расстояний от точки до пересечений окружности через точку с кривой, деленных на n- ю степень диаметра d. . Лагер показал, что это число не зависит от диаметра ( Laguerre 1905 ). В случае, когда алгебраическая кривая представляет собой окружность, это не совсем то же самое, что степень точки по отношению к окружности, определенная в остальной части этой статьи, но отличается от нее в d ² раза .

Ссылки [ править ]

• Кокстер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
• Дарбу, Гастон (1872), "Sur les Relations Entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323–392 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
• Лагер, Эдмон (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (на французском языке), Gauthier-Villars et fils, стр. 20 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Штайнер, Якоб (1826), «Einige geometrische Betrachtungen», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 161–184 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
• Бергер , Марсель (1987), Геометрия I , Springer , ISBN 978-3-540-11658-5

Дальнейшее чтение [ править ]

• Огилви К.С. (1990), Экскурсии по геометрии , Dover Publications, стр.  6–23 , ISBN 0-486-26530-7 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometry Revisited , Вашингтон : MAA , стр. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2
• Джонсон Р.А. (1960), Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат о геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 г., изданного Хоутоном Мифлином), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 28–34, ISBN 978-0-486-46237-0

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме " Сила точки" .

• Якоб Штайнер и Сила Точки на конвергенции
• Вайсштейн, Эрик В. «Сила круга» . MathWorld .
• Теорема о пересечении хорд при разрубании узла
• Теорема о пересечении аккордов с интерактивной анимацией
• Теорема о пересечении секущих с интерактивной анимацией
• [1]