Теорема о перехвате

Теорема о перехвате , также известная как теорема Фалеса или теорема о перехвате Тале, или основная теорема пропорциональности или теорема о боковом разделителе, является важной теоремой в элементарной геометрии о соотношениях различных отрезков прямой, которые образуются, если две пересекающиеся прямые пересекаются парой параллелей . Это эквивалентно теореме о соотношениях в подобных треугольниках . Традиционно его приписывают греческому математику Фалесу . ^[1]

Формулировка [ править ]

Предположим, что S - точка пересечения двух прямых, а A, B - точки пересечения первой линии с двумя параллелями, так что B находится дальше от S, чем A, и аналогично C, D - точки пересечения второй линии с прямой. две параллели такие, что D дальше от S, чем C.

Отношения любых двух сегментов на первой линии равняется соотношений в соответствии сегментов на второй линии: , , ${\ Displaystyle | SA |: | AB | = | SC |: | CD |}$ ${\ displaystyle | SB |: | AB | = | SD |: | CD |}$ ${\ Displaystyle | SA |: | SB | = | SC |: | SD |}$
Отношение двух сегментов на одной прямой, начинающейся в точке S, равно отношению сегментов на параллелях: ${\ Displaystyle | SA |: | SB | = | SC |: | SD | = | AC |: | BD |}$
Верно и обратное к первому утверждению, т.е. если две пересекающиеся линии пересекаются двумя произвольными линиями и выполняется, то две пересекающиеся линии параллельны. Однако обратное второе утверждение неверно. ${\ Displaystyle | SA |: | AB | = | SC |: | CD |}$
Если у Вас есть больше чем две линии , пересекающиеся в S, то соотношение двух сегментов в параллельном равна отношению к сегментам в соответствии с другой параллельной: , ${\ displaystyle | AF |: | BE | = | FC |: | ED |}$ ${\ displaystyle | AF |: | FC | = | BE |: | ED |}$

Пример для случая трех линий приведен на втором рисунке ниже.

Первая теорема о пересечении показывает отношения сечений от линий, вторая - отношения сечений от прямых, а также сечений от параллелей, наконец, третья показывает отношения сечений от параллелей.

Понятия, связанные с данным [ править ]

Подобие и похожие треугольники [ править ]

Расположение двух одинаковых треугольников так, чтобы можно было применить теорему о перехвате

Теорема о перехвате тесно связана с подобием . Это эквивалентно концепции подобных треугольников , т. Е. Его можно использовать для доказательства свойств подобных треугольников, а аналогичные треугольники можно использовать для доказательства теоремы о перехвате. Сопоставляя одинаковые углы, вы всегда можете поместить два одинаковых треугольника друг в друга, чтобы получить конфигурацию, в которой применяется теорема о перехвате; и наоборот, конфигурация теоремы о перехвате всегда содержит два одинаковых треугольника.

Скалярное умножение в векторных пространствах [ править ]

В нормированном векторном пространстве , то аксиомы относительно скалярного умножения (в частности , и ) убедиться , что теорема перехватывать имеет место. Надо ${\ displaystyle \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}}) = \ lambda \ cdot {\ vec {a}} + \ lambda \ cdot {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle \ | \ lambda {\ vec {a}} \ | = | \ lambda | \ cdot \ \ | {\ vec {a}} \ |}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {a}} \ |} {\ | {\ vec {a}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot {\ vec {b}} \ |} {\ | {\ vec {b}} \ |}} = {\ frac {\ | \ lambda \ cdot ({\ vec {a}} + {\ vec {b}})) \ |} {\ | {\ vec {a}} + {\ vec {b}} \ |}} = | \ lambda |}$

Приложения [ править ]

Алгебраическая формулировка конструкций циркуля и линейки [ править ]

Есть три известные проблемы элементарной геометрии, которые были поставлены греками в терминах конструкций циркуля и линейки : ^[2]^[3]

Трисекция угла
Удвоение куба
Квадрат круга

Потребовалось более 2000 лет, прежде чем все три из них были окончательно продемонстрированы в XIX веке с использованием данных инструментов, с использованием алгебраических методов, которые стали доступными в тот период времени. Чтобы переформулировать их в алгебраических терминах с использованием расширений полей , необходимо сопоставить полевые операции с конструкциями компаса и линейки (см. Число, которое можно построить ). В частности, важно гарантировать, что для двух данных сегментов линии можно построить новый сегмент, длина которого равна произведению длин двух других. Точно так же нужно иметь возможность построить для отрезка длины новый отрезок отрезка длины. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1}}$ . Теорема о перехвате может использоваться, чтобы показать, что в обоих случаях такая конструкция возможна.

Строительство продукта

Построение инверсии

Разделение отрезка линии с заданным соотношением [ править ]

Чтобы разделить произвольный линейный сегмент в пропорции, нарисуйте произвольный угол в A одной ногой. На другой ноге постройте равноудаленные точки, затем проведите линию через последнюю точку и B и параллельную линию через m- ю точку. Эта параллельная линия делится в желаемом соотношении. На графике справа показано разделение линейного сегмента в соотношении. ^[4] ${\overline {AB}}$ $m:n$ ${\overline {AB}}$ $m+n$ ${\overline {AB}}$ ${\overline {AB}}$ $5:3$

Измерение и обследование [ править ]

Высота пирамиды Хеопса [ править ]

мерные части

вычисление C и D

Согласно некоторым историческим источникам, греческий математик Фалес применил теорему о перехвате, чтобы определить высоту пирамиды Хеопса . ^[1] Следующее описание иллюстрирует использование теоремы о перехвате для вычисления высоты пирамиды. Однако в нем не упоминается оригинальная работа Фалеса, которая была утеряна.

Фалес измерил длину основания пирамиды и высоту своего шеста. Затем в то же время дня он измерил длину тени пирамиды и длину тени столба. Это дало следующие данные:

высота столба (A): 1,63 м
тень столба (B): 2 м
длина основания пирамиды: 230 м
тень пирамиды: 65 м

Из этого он вычислил

C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}

Зная A, B и C, он теперь мог применить теорему о перехвате для вычисления

D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}

Измерение ширины реки [ править ]

Теорема о перехвате может использоваться для определения расстояния, которое нельзя измерить напрямую, например, ширины реки или озера, высоты высоких зданий и т. Д. На графике справа показано измерение ширины реки. Сегменты , , измеряются и используются для вычисления расстояния хотели . $|CF|$ $|CA|$ $|FE|$ $|AB|={\frac {|AC||FE|}{|FC|}}$

Параллельные линии в треугольниках и трапециях [ править ]

Теорема о перехвате может быть использована для доказательства того, что определенная конструкция дает параллельную прямую (отрезок) s.

Если середины двух сторон треугольника соединены, то полученный отрезок параллелен третьей стороне треугольника (теорема о средней точке треугольников).

Если середины двух непараллельных сторон трапеции соединены, то полученный отрезок прямой параллелен двум другим сторонам трапеции.

Доказательство [ править ]

Элементарное доказательство теоремы использует треугольники одинаковой площади для вывода основных утверждений о соотношениях (п.1). Затем следуют другие утверждения, применяя первое утверждение и противоречие. ^[5]

Утверждение 1 [ править ]

Так как высоты и равны. Поскольку у этих треугольников одна и та же базовая линия, их площади идентичны. Так что у нас есть и, следовательно, тоже. Это дает $CA\parallel BD$ $\triangle CDA$ $\triangle CBA$ $|\triangle CDA|=|\triangle CBA|$ $|\triangle SCB|=|\triangle SDA|$

${\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}}$ и ${\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|}}$

Вставка формулы для площади треугольника ( ) преобразует это в ${\tfrac {{\text{baseline}}\cdot {\text{altitude}}}{2}}$

${\frac {|SC||AF|}{|CD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|AB||EC|}}$ и ${\frac {|SC||AF|}{|SD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|SB||EC|}}$

Отмена общих факторов приводит к:

(а) и (б) $\,{\frac {|SC|}{|CD|}}={\frac {|SA|}{|AB|}}$ $\,{\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|SA|}{|SB|}}$

Теперь используйте (b) для замены и в (a): $|SA|$ $|SC|$ ${\frac {\frac {|SA||SD|}{|SB|}}{|CD|}}={\frac {\frac {|SB||SC|}{|SD|}}{|AB|}}$

Повторное использование (b) упрощает до: (c) $\,{\frac {|SD|}{|CD|}}={\frac {|SB|}{|AB|}}$ $\,\square$

Утверждение 2 [ править ]

Проведите дополнительную параллель к точке A. Эта параллель пересекает точку G. Тогда имеем и в силу утверждения 1 и, следовательно, $SD$ $BD$ $|AC|=|DG|$ ${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|DG|}{|BD|}}$ ${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}$

$\square$

Утверждение 3 [ править ]

Предположим и не параллельны. Затем параллельная прямая до сквозного пересекает в . Поскольку верно, мы имеем, а с другой стороны из утверждения 1 имеем . Таким образом, и находятся на одной стороне и имеют одинаковое расстояние до , что означает . Это противоречие, так что предположение не могло быть правдой, а это значит , и в самом деле параллельно $AC$ $BD$ $AC$ $D$ $SA$ $B_{0}\neq B$ $|SB|:|SA|=|SD|:|SC|$
$|SB|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}$

$|SB_{0}|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}$
$B$ $B_{0}$ $S$ $S$ $B=B_{0}$ $AC$ $BD$ $\square$

Утверждение 4 [ править ]

Утверждение 4 можно показать, применив теорему о перехвате для двух прямых.

Заметки [ править ]

^ a b Никаких оригинальных работ Фалеса не сохранилось. Все исторические источники, которые приписывают ему теорему перехвата или связанные с ним знания, были написаны спустя столетия после его смерти. Диоген Лаэртий и Плиний описывают, что, строго говоря, не требует теоремы о перехвате, но может полагаться только на простое наблюдение, а именно, что в определенный момент дня длина тени объекта будет соответствовать его высоте. Лаэртий цитирует высказывание философа Иеронима (3 век до н.э.) о Фалесе: « Иероним говорит, что [Фалес] измерял высоту пирамид по отбрасываемой ими тени, делая наблюдение в час, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами (т.е. как наш собственный рост).Плиний пишет: « Фалес открыл, как получить высоту пирамид и всех других подобных объектов, а именно, измерив тень от объекта в то время, когда тело и его тень равны по длине. ". Однако Плутарх дает отчет, который может предполагать, что Фалес знал теорему о перехвате или, по крайней мере, ее частный случай:" ... без проблем или помощи какого-либо инструмента [он] просто установил палку на конце тени брошенный пирамидой и, таким образом образовав два треугольника на пересечении солнечных лучей, ... показал, что пирамида имеет такое же отношение к палке, как тень [пирамиды] к тени [палки] »(Источник:. Фалес биография в MacTutor, (переведенные) оригинальные работы Плутарха и Лаэртия: « Моралия», «Ужин семи мудрецов» , 147A и « Жизни выдающихся философов» , глава 1. Фалес, пункт 27 ).
Перейти ↑ Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round , Dover, p. 3, ISBN 0-486-42515-0
^ Кунц, Эрнст (1991). Алгебра (на немецком языке). Vieweg. С. 5–7. ISBN 3-528-07243-1.
^ Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия по ее истории . Springer. С. 7 . ISBN 978-3-642-29163-0.( Интернет-копия , стр. 7, в Google Книгах )
^ Шупп, Х. (1977). Elementargeometrie (на немецком языке). Ето шенинг. С. 124–126. ISBN 3-506-99189-2.

Ссылки [ править ]

Шупп, Х. (1977). Elementargeometrie (на немецком языке). Ето шенинг. С. 124–126. ISBN 3-506-99189-2.
Леппиг, Манфред (1981). Lernstufen Mathematik (на немецком языке). Жирарде. С. 157–170. ISBN 3-7736-2005-5.
Агрикола, Илька ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . AMS. С. 10–13, 16–18. ISBN 0-8218-4347-8.( онлайн-копия , стр. 10, в Google Книгах )
Стиллвелл, Джон (2005). Четыре столпа геометрии . Springer. п. 34 . ISBN 978-0-387-25530-9.( Интернет-копия , стр. 34, в Google Книгах )
Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия по ее истории . Springer. стр. 3 -7. ISBN 978-3-642-29163-0.( Интернет-копия , стр. 3, в Google Книгах )

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с теоремой о перехвате .

Теорема о перехвате в PlanetMath
Александр Богомольный: Теоремы Фалеса и, в частности , теорема Фалеса в разрезе узла

[mactutor-1] Никаких оригинальных работ Фалеса не сохранилось. Все исторические источники, которые приписывают ему теорему перехвата или связанные с ним знания, были написаны спустя столетия после его смерти. Диоген Лаэртий и Плиний описывают, что, строго говоря, не требует теоремы о перехвате, но может полагаться только на простое наблюдение, а именно, что в определенный момент дня длина тени объекта будет соответствовать его высоте. Лаэртий цитирует высказывание философа Иеронима (3 век до н.э.) о Фалесе: « Иероним говорит, что [Фалес] измерял высоту пирамид по отбрасываемой ими тени, делая наблюдение в час, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами (т.е. как наш собственный рост).Плиний пишет: « Фалес открыл, как получить высоту пирамид и всех других подобных объектов, а именно, измерив тень от объекта в то время, когда тело и его тень равны по длине. ". Однако Плутарх дает отчет, который может предполагать, что Фалес знал теорему о перехвате или, по крайней мере, ее частный случай:" ... без проблем или помощи какого-либо инструмента [он] просто установил палку на конце тени брошенный пирамидой и, таким образом образовав два треугольника на пересечении солнечных лучей, ... показал, что пирамида имеет такое же отношение к палке, как тень [пирамиды] к тени [палки] »(Источник:. Фалес биография в MacTutor, (переведенные) оригинальные работы Плутарха и Лаэртия: « Моралия», «Ужин семи мудрецов» , 147A и « Жизни выдающихся философов» , глава 1. Фалес, пункт 27 ).

[2] Перейти ↑ Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round , Dover, p. 3, ISBN 0-486-42515-0

[Kunz-3] Кунц, Эрнст (1991). Алгебра (на немецком языке). Vieweg. С. 5–7. ISBN 3-528-07243-1.

[Ostermann-4] Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012). Геометрия по ее истории . Springer. С. 7 . ISBN 978-3-642-29163-0.( Интернет-копия , стр. 7, в Google Книгах )

[Schupp-5] Шупп, Х. (1977). Elementargeometrie (на немецком языке). Ето шенинг. С. 124–126. ISBN 3-506-99189-2.

[1]