В геометрии , Фалес теорема утверждает , что если А, В, и С являются различными точками на окружности , где линия переменного ток представляет собой диаметр , то угол АВС является прямым углом . Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о вписанном угле и упоминается и доказывается как часть 31-го предложения в третьей книге « Элементов » Евклида . [1] Обычно его приписывают Фалесу Милетскому, но иногда приписывают Пифагору .
История
Triangol sì ch'un retto non avesse.
- Или если полукругом можно сделать
- Треугольник так, чтобы у него не было прямого угла.
Парадизо Данте , Песнь 13, строки 101–102. Английский перевод Генри Уодсворта Лонгфелло .
О сочинении Фалеса ничего не сохранилось; Работы, проделанные в Древней Греции, обычно приписывались людям мудрости без уважения ко всем лицам, вовлеченным в какие-либо определенные интеллектуальные построения - особенно это верно в отношении Пифагора. Атрибуция действительно имела место в более позднее время. [2] Ссылка на Фалеса была сделана Проклом и Диогеном Лаэртием, документально подтверждающим заявление Памфилы о том, что Фалес [3] «был первым, кто вписал в круг прямоугольный треугольник».
Индийские и вавилонские математики знали это в особых случаях до того, как это доказал Фалес. [4] Считается, что Фалес узнал, что угол, начертанный в полукруге, является прямым углом во время своего путешествия в Вавилон . [5] Теорема названа в честь Фалеса, потому что древние источники утверждали, что он был первым, кто доказал теорему, используя свои собственные результаты о том, что базовые углы равнобедренного треугольника равны, а сумма углов в треугольнике равен 180 °.
Paradiso Данте (песнь 13, строки 101–102) обращается к теореме Фалеса в ходе речи.
Доказательство
Первое доказательство
Используются следующие факты: сумма углов в треугольнике равна 180 °, а углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Поскольку OA = OB = OC , ∆OBA и ∆OBC равнобедренные треугольники, и по равенству углов основания равнобедренного треугольника ∠OBC = ∠OCB и ∠OBA = ∠OAB.
Пусть α = ∠BAO и β = ∠OBC. Три внутренних угла треугольника ∆ABC - это α , ( α + β ) и β . Поскольку сумма углов треугольника равна 180 °, имеем
Второе доказательство
Теорема также может быть доказана с помощью тригонометрии : Пусть, , а также . Тогда B - точка на единичной окружности. Покажем , что ΔABC образует прямой угол, доказав , что AB и BC являются перпендикулярно - то есть, продукт их склонов равен -1. Рассчитываем уклоны для AB и BC :
а также
Затем мы показываем, что их произведение равно −1:
Обратите внимание на использование тригонометрического тождества Пифагора. .
Третье доказательство
Позволять быть треугольником в круге, где диаметр в этом круге. Затем постройте новый треугольник путем зеркального отражения треугольника над чертой а затем снова отразить его по линии, перпендикулярной к который проходит через центр круга. Поскольку линии а также являются параллельными , также для а также , четырехугольник - параллелограмм . Поскольку линии а также оба диаметра круга и, следовательно, равны по длине, параллелограмм должен быть прямоугольником. Все углы в прямоугольнике - прямые.
Converse
Для любого треугольника и, в частности, любого прямоугольного треугольника существует ровно один круг, содержащий все три вершины треугольника. ( Схема доказательства . Географическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек, представляет собой прямую линию, которая называется серединным перпендикуляром отрезка прямой, соединяющего точки. Серединные перпендикуляры любых двух сторон треугольника пересекаются ровно в одной точке. Эта точка должны быть равноудалены от вершин треугольника.) Эта окружность называется описанной окружностью треугольника.
Один из способов сформулировать теорему Фалеса: если центр описанной окружности треугольника лежит на треугольнике, то треугольник является прямым, а центр его описанной окружности лежит на его гипотенузе.
Обратное к теореме Фалеса таково: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на его гипотенузе. (Эквивалентно, гипотенуза прямоугольного треугольника - это диаметр его описанной окружности.)
Доказательство обратного с помощью геометрии
Это доказательство состоит из `` завершения '' прямоугольного треугольника, чтобы сформировать прямоугольник, и наблюдения за тем, что центр этого прямоугольника равноудален от вершин и, следовательно, является центром описывающей окружности исходного треугольника, оно использует два факта:
- смежные углы в параллелограмме являются дополнительными (добавляют к 180 ° ) и,
- диагонали прямоугольника равны и пересекают друг друга в средней точке.
Пусть есть прямой угол ∠ABC, ra, параллельный BC, проходящий через A, и прямая sa, параллельная AB, проходящая через C. Пусть D - точка пересечения прямых r и s (Отметим, что не было доказано, что D лежит по кругу)
Четырехугольник ABCD по построению образует параллелограмм (так как противоположные стороны параллельны). Так как в параллелограмме соседние углы являются дополнительными (добавить к 180 °) и ∠ABC - прямой угол (90 °), то углы ∠BAD, ∠BCD и ∠ADC также прямые (90 °); следовательно, ABCD - прямоугольник.
Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD . Тогда точка O, согласно второму факту выше, равноудалена от A, B и C. Таким образом, O - центр описывающей окружности, а гипотенуза треугольника ( AC ) - диаметр окружности.
Альтернативное доказательство обратного с использованием геометрии
Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Построим окружность Ω диаметром AC . Пусть O - центр Ω. Пусть D - пересечение Ω и луча OB . По теореме Фалеса ∠ ADC прав. Но тогда D должен быть равен B . (Если D лежит внутри ∆ ABC , ADC будет тупым, а если D лежит вне ∆ ABC , ∠ ADC будет острым.)
Доказательство обратного с помощью линейной алгебры
Это доказательство использует два факта:
- две прямые образуют прямой угол тогда и только тогда, когда скалярное произведение их векторов направления равно нулю, и
- квадрат длины вектора дается скалярным произведением вектора на себя.
Пусть есть прямой угол ∠ABC и окружность M с диаметром AC . Пусть центр M лежит в начале координат, для облегчения вычислений. Тогда мы знаем
- A = - C, потому что круг с центром в начале координат имеет диаметр AC , и
- (A - B) · (B - C) = 0, поскольку ∠ABC - прямой угол.
Следует
- 0 = (A - B) · (B - C) = (A - B) · (B + A) = | A | 2 - | B | 2 .
Следовательно:
- | A | = | B |.
Это означает , что и В находятся на одинаковом расстоянии от начала координат, т.е. от центра М . Поскольку A лежит на M , то же самое и с B , поэтому окружность M является описанной окружностью треугольника.
Вышеприведенные вычисления фактически устанавливают, что оба направления теоремы Фалеса справедливы в любом внутреннем пространстве продукта .
Теорема Фалеса является частным случаем следующей теоремы:
- Для трех точек A, B и C на окружности с центром O угол ∠AOC вдвое больше угла ∠ABC.
См. Вписанный угол , доказательство этой теоремы очень похоже на доказательство теоремы Фалеса, приведенное выше.
Связанный с теоремой Фалес результат следующий:
- Если AC - диаметр окружности, то:
- Если B находится внутри круга, то ∠ABC> 90 °
- Если B находится на окружности, то ∠ABC = 90 °
- Если B находится вне круга, то ∠ABC <90 °.
Заявление
Теорема Фалеса может быть использована для построения касательной к данной окружности, проходящей через данную точку. На рисунке справа дана окружность k с центром O и точка P вне k , разделите OP пополам в H и нарисуйте окружность радиуса OH с центром H. OP - диаметр этой окружности, поэтому треугольники, соединяющие OP с точками T и T ′ в местах пересечения кругов являются прямоугольными треугольниками.
Теорема Фалеса также может быть использована для нахождения центра круга с помощью объекта с прямым углом, такого как установленный квадратный или прямоугольный лист бумаги, больший, чем круг. [6] Уголок помещается в любом месте его окружности (рис. 1). Пересечения двух сторон с окружностью определяют диаметр (рисунок 2). Повторение этого с другим набором пересечений дает другой диаметр (рис. 3). Центр находится на пересечении диаметров.
Смотрите также
- Синтетическая геометрия
- Обратная теорема Пифагора
Заметки
- ^ Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг элементов Евклида . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк [ua]: Dover Publ. п. 61 . ISBN 0486600890.
- ^ Аллен, Дж. Дональд (2000). "Фалес Милетский" (PDF) . Проверено 12 февраля 2012 .
- ^ Patronis, T .; Пацопулос, Д. Теорема Фалеса: исследование именования теорем в школьных учебниках геометрии . Патрский университет . Проверено 12 февраля 2012 .
- ^ де Лаэт, Зигфрид Дж. (1996). История человечества: научное и культурное развитие . ЮНЕСКО , Том 3, стр. 14. ISBN 92-3-102812-X
- Перейти ↑ Boyer, Carl B. and Merzbach, Uta C. (2010). История математики . Джон Уайли и сыновья, Глава IV. ISBN 0-470-63056-6
- ^ Ресурсы для преподавания математики: 14–16 Колин Фостер
Рекомендации
- Агрикола, Илька ; Фридрих, Томас (2008). Элементарная геометрия . AMS. п. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5.( ограниченная копия в Интернете , стр. 50, в Google Книгах )
- Хит, TL (1921). История греческой математики: от Фалеса до Евклида . Я . Оксфорд. стр. 131 и далее.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Фалеса" . MathWorld .
- Жевание начертанных углов
- Объяснение теоремы Фалеса с интерактивной анимацией
- Демонстрации теоремы Фалеса Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .