В математике спектральная последовательность Бокштейна - это спектральная последовательность, связывающая гомологию с коэффициентами mod p и уменьшенную гомологию по модулю p . Он назван в честь Мейера Бокштейна .
Определение [ править ] Пусть C - цепной комплекс абелевых групп без кручения и p - простое число . Тогда у нас есть точная последовательность:
0 ⟶ C ⟶ п C ⟶ мод п C ⊗ Z / п ⟶ 0. {\ displaystyle 0 \ longrightarrow C {\ overset {p} {\ longrightarrow}} C {\ overset {{\ text {mod}} p} {\ longrightarrow}} C \ otimes \ mathbb {Z} / p \ longrightarrow 0 .} Взяв целочисленные гомологии H , мы получаем точную пару «дважды градуированных» абелевых групп:
ЧАС * ( C ) ⟶ я знак равно п ЧАС * ( C ) ⟶ j ЧАС * ( C ⊗ Z / п ) ⟶ k . {\displaystyle H_{*}(C){\overset {i=p}{\longrightarrow }}H_{*}(C){\overset {j}{\longrightarrow }}H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p){\overset {k}{\longrightarrow }}.} где идет оценка: и то же самое для H ∗ ( C ) s , t = H s + t ( C ) {\displaystyle H_{*}(C)_{s,t}=H_{s+t}(C)} H ∗ ( C ⊗ Z / p ) , deg i = ( 1 , − 1 ) , deg j = ( 0 , 0 ) , deg k = ( − 1 , 0 ) . {\displaystyle H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p),\deg i=(1,-1),\deg j=(0,0),\deg k=(-1,0).}
Это дает первую страницу спектральной последовательности: берем с дифференциалом . Производная пара указанной выше точной пары затем дает вторую страницу и так далее. Явно, у нас есть то , что вписывается в точную пару: E s , t 1 = H s + t ( C ⊗ Z / p ) {\displaystyle E_{s,t}^{1}=H_{s+t}(C\otimes \mathbb {Z} /p)} 1 d = j ∘ k {\displaystyle {}^{1}d=j\circ k} D r = p r − 1 H ∗ ( C ) {\displaystyle D^{r}=p^{r-1}H_{*}(C)}
D r ⟶ i = p D r ⟶ r j E r ⟶ k {\displaystyle D^{r}{\overset {i=p}{\longrightarrow }}D^{r}{\overset {{}^{r}j}{\longrightarrow }}E^{r}{\overset {k}{\longrightarrow }}} где и (степени i , k такие же, как и раньше). Теперь, принимая из r j = ( mod p ) ∘ p − r + 1 {\displaystyle {}^{r}j=({\text{mod }}p)\circ p^{-{r+1}}} deg ( r j ) = ( − ( r − 1 ) , r − 1 ) {\displaystyle \deg({}^{r}j)=(-(r-1),r-1)} D n r ⊗ − {\displaystyle D_{n}^{r}\otimes -}
0 ⟶ Z ⟶ p Z ⟶ Z / p ⟶ 0 , {\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {p}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0,} мы получили:
0 ⟶ Tor 1 Z ( D n r , Z / p ) ⟶ D n r ⟶ p D n r ⟶ D n r ⊗ Z / p ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(D_{n}^{r},\mathbb {Z} /p)\longrightarrow D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}\longrightarrow D_{n}^{r}\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0} Это сообщает ядру и коядру . Раскладывая точную пару в длинную точную последовательность, мы получаем: для любого r , D n r ⟶ p D n r {\displaystyle D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}}
0 ⟶ ( p r − 1 H n ( C ) ) ⊗ Z / p ⟶ E n , 0 r ⟶ Tor ( p r − 1 H n − 1 ( C ) , Z / p ) ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow (p^{r-1}H_{n}(C))\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow E_{n,0}^{r}\longrightarrow \operatorname {Tor} (p^{r-1}H_{n-1}(C),\mathbb {Z} /p)\longrightarrow 0} Когда , это то же самое, что и теорема об универсальных коэффициентах для гомологий. r = 1 {\displaystyle r=1}
Предположим, абелева группа конечно порождена; в частности, только конечное число циклических модулей вида может появиться как прямое слагаемое в . Позволяя нам видеть таким образом, изоморфно . H ∗ ( C ) {\displaystyle H_{*}(C)} Z / p s {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{s}} H ∗ ( C ) {\displaystyle H_{*}(C)} r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } E ∞ {\displaystyle E^{\infty }} ( free part of H ∗ ( C ) ) ⊗ Z / p {\displaystyle ({\text{free part of }}H_{*}(C))\otimes \mathbb {Z} /p}
McCleary, Джон (2001), Руководство пользователя для спектральных последовательностей , Кембридж Исследования в области высшей математики, 58 (2 - е изд.), Cambridge University Press , DOI : 10,2277 / 0521567599 , ISBN 978-0-521-56759-6 Руководство по ремонту 1793722 JP May, Праймер по спектральным последовательностям
