Спектральная последовательность
В гомологической алгебре и алгебраической топологии спектральная последовательность является средством вычисления групп гомологий путем последовательных приближений. Спектральные последовательности являются обобщением точных последовательностей , и с момента их введения Жаном Лере ( 1946a , 1946b ) они стали важным вычислительным инструментом, особенно в алгебраической топологии, алгебраической геометрии и гомологической алгебре.
Вдохновленный проблемами алгебраической топологии, Жан Лере ввел понятие пучка и столкнулся с проблемой вычисления когомологий пучка . Чтобы вычислить когомологии пучка, Лере ввел вычислительную технику, теперь известную как спектральная последовательность Лере . Это дало связь между группами когомологий пучка и группами когомологий форварда пучка . Отношение включало в себя бесконечный процесс. Лере обнаружил, что группы когомологий форварда образуют естественный цепной комплекс, так что он мог взять когомологии когомологий. Это все еще не были когомологии исходного пучка, но в каком-то смысле они были на один шаг ближе. Когомологии когомологий снова образуют цепной комплекс, ее когомологии образуют цепной комплекс и т. д. Предел этого бесконечного процесса был по существу таким же, как группы когомологий исходного пучка.
Вскоре стало понятно, что вычислительная техника Лере была примером более общего явления. Спектральные последовательности были обнаружены в различных ситуациях, и они давали сложные отношения между группами гомологий и когомологий, возникающие из геометрических ситуаций, таких как расслоения , и из алгебраических ситуаций, связанных с производными функторами . Хотя их теоретическое значение уменьшилось с момента введения производных категорий , они по-прежнему являются наиболее эффективным доступным вычислительным инструментом. Это верно даже тогда, когда многие члены спектральной последовательности не поддаются исчислению.
К сожалению, из-за большого количества информации, содержащейся в спектральных последовательностях, их трудно понять. Эта информация обычно содержится в решетке ранга три абелевых групп или модулей . Проще всего иметь дело со случаями, в которых спектральная последовательность в конце концов схлопывается, а это означает, что дальнейшие шаги по последовательности не дают новой информации. Даже когда этого не происходит, часто можно получить полезную информацию из спектральной последовательности с помощью различных уловок.
Зафиксируйте абелеву категорию , такую как категория модулей над кольцом , и неотрицательное целое число . Когомологическая спектральная последовательность — это последовательность объектов и эндоморфизмов , такая, что для каждого
