В математике , а точнее в гомологической алгебре , резольвента (или левая резольвента ; дуально корезольвента или правая резольвента [1] ) — это точная последовательность модулей (или , в более общем смысле, объектов абелевой категории ), которая используется определить инварианты , характеризующие структуру конкретного модуля или объекта данной категории. Когда, как обычно, стрелки ориентированы вправо, предполагается, что последовательность бесконечна влево для (левых) разрешений и вправо для правых разрешений. Однакоконечное разрешение — это разрешение, при котором только конечное число объектов в последовательности не равно нулю ; обычно его представляют конечной точной последовательностью, в которой самый левый объект (для резольвент) или самый правый объект (для коразрешений) является нулевым объектом . [2]
Как правило, объекты в последовательности ограничены некоторым свойством P (например, быть свободными). Таким образом, говорят о разрешении P. В частности, каждый модуль имеет свободные разрешения , проективные разрешения и плоские разрешения , которые являются левыми разрешениями, состоящими соответственно из свободных модулей , проективных модулей или плоских модулей . Точно так же каждый модуль имеет инъективные резольвенты , которые являются правыми резольвентами, состоящими из инъективных модулей .
Учитывая модуль M над кольцом R , левая резольвента (или просто резольвента ) M является точной последовательностью (возможно, бесконечной) R -модулей
Гомоморфизмы d i называются граничными отображениями. Отображение ε называется аугментационным отображением . Для краткости приведенную выше резолюцию можно записать в виде
Двойственное понятие — это правильное разрешение (или соразрешение , или просто разрешение ). В частности, для данного модуля M над кольцом R правая резольвента — это, возможно, бесконечная точная последовательность R -модулей .
где каждый C i является R -модулем (обычно используются надстрочные индексы для объектов в разрешении и сопоставления между ними, чтобы указать на двойственную природу такого разрешения). Для краткости приведенную выше резолюцию можно записать в виде