В алгебре , А свободное представление о модуле М над коммутативным кольцом R представляет собой точную последовательность из R - модулей:
Обратите внимание на изображение под г стандартной основы генерируют М . В частности, если J конечен, то М представляет собой конечно порожденный модуль . Если I и J - конечные множества, то представление называется конечным представлением ; модуль называется конечно представимым, если он допускает конечное представление.
Поскольку f является модульным гомоморфизмом между свободными модулями, его можно визуализировать как (бесконечную) матрицу с элементами в R и M в качестве коядра.
Свободное представление существует всегда: любой модуль является частным от свободного модуля: , но тогда ядро g снова является частным свободного модуля:. Комбинация F и г является свободным представлением М . Теперь, очевидно, можно продолжать «разрешать» ядра таким образом; результат называется свободным разрешением . Таким образом, бесплатная презентация - это первая часть бесплатного разрешения.
Презентация полезна для вычислений. Например, поскольку тензор является точным справа, тензорное представление вышеупомянутого представления с помощью модуля, скажем N , дает:
Это говорит, что коядро . Если N - R -алгебра , то это представление N -модуля; то есть представление расширяется под расширением базы.
Для точных слева функторов существует, например,
Предложение - Пусть F , G быть оставлен-точные контравариантные функторы из категории модулей над коммутативным кольцом R к абелевым группам и & thetas ; а естественное преобразование от F к G . Еслиявляется изоморфизмом для каждого натурального числа n , тоявляется изоморфизмом для любого конечно-представленного модуля M .
Доказательство: применение F к конечному представлению приводит к
Смотрите также
Рекомендации
- Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .