Конечно сгенерированный модуль
В математике конечно порожденный модуль — это модуль , который имеет конечный набор порождающих . Конечно порожденный модуль над кольцом R можно также назвать конечным R -модулем , конечным над R , [1] или модулем конечного типа .
Связанные понятия включают конечно когенерированные модули , конечно представленные модули , конечно связанные модули и когерентные модули, все из которых определены ниже. Над нётеровым кольцом понятия конечно порожденных, конечно определенных и когерентных модулей совпадают.
Конечно порождённый модуль над полем — это просто конечномерное векторное пространство , а конечно порождённый модуль над целыми числами — это просто конечно порождённая абелева группа .
Левый R - модуль M конечно порожден, если существуют a 1 , a 2 , ..., an в M такие, что для любого x в M существуют r 1 , r 2 , ... , r n в R Икс знак равно р 1 а 1 + р 2 а 2 + ... + р п а п .
Набор { a 1 , a 2 , ..., an } в этом случае называется порождающим набором M. Конечный набор образующих не обязательно должен быть базисом, поскольку он не обязательно должен быть линейно независимым над R . Что верно, так это то, что M конечно порождено тогда и только тогда, когда существует сюръективное R -линейное отображение :
Если множество S порождает модуль, который является конечно порожденным, то существует конечное множество порождающих, которое включено в S , поскольку только конечное число элементов в S необходимо для выражения любого конечного множества порождающих, и эти конечное множество элементов образуют множество порождающих . Однако может случиться так, что S не содержит ни одного конечного набора образующих минимальной мощности . Например , {1} и набор простых чисел являются порождающими наборами, рассматриваемыми как -модули, но порождающий набор, образованный из простых чисел, имеет по крайней мере два элемента.
