Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Скользят отражение тип движения евклидовой.

В геометрии , А движение является изометрией из метрического пространства . Например, плоскость, снабженная метрикой евклидова расстояния, является метрическим пространством, в котором отображение, связывающее конгруэнтные фигуры, является движением. [1] В более общем смысле термин « движение» является синонимом сюръективной изометрии в метрической геометрии [2], включая эллиптическую геометрию и гиперболическую геометрию . В последнем случае гиперболические движения обеспечивают приближение к предмету для новичков.

Движения можно разделить на прямые и косвенные. Прямые, соответствующие или жесткие движения являются движения , такие как переводы и вращений , сохраняющих ориентацию в виде хиральной формы . Косвенные, или неправильные движения являются движением типа отражений , скользящими отражений и несобственных вращений , которые инвертировать ориентации в виде хиральной формы . Некоторые геометры определяют движение таким образом, что только прямые движения являются движениями [ необходима цитата ] .

В дифференциальной геометрии [ править ]

В дифференциальной геометрии , A Диффеоморфизм называется движением , если оно индуцирует изометрию между касательным пространством при многообразии точки и касательного пространства в образе этой точки. [3] [4]

Группа движений [ править ]

Основная статья: Группа изометрии

Для данной геометрии множество движений образует группу при композиции отображений. Эта группа движений отличается своими свойствами. Например, евклидова группа отличается от нормальной подгруппы в переводах . На плоскости прямое евклидово движение - это либо перенос, либо вращение , в то время как в пространстве каждое прямое евклидово движение может быть выражено как винтовое смещение согласно теореме Часлза . Когда основное пространство является римановым многообразием , группа движений является группой Ли . Кроме того, многообразие имеетпостоянная кривизна тогда и только тогда, когда для каждой пары точек и каждой изометрии существует движение, переводящее одну точку в другую, для которой движение индуцирует изометрию. [5]

Идея группы движений в специальной теории относительности была выдвинута как лоренцево движение. Например, фундаментальные идеи были изложены для плоскости, характеризуемой квадратичной формой в American Mathematical Monthly . [6] Движение пространства Минковского было описано Сергеем Новиковым в 2006 г .: [7]

Физический принцип постоянной скорости света выражается в требовании, чтобы переход от одной инерциальной системы отсчета к другой определялся движением пространства Минковского, то есть преобразованием
сохранение пространственно-временных интервалов. Это значит, что
для каждой пары точек x и y в R 1,3 .

История [ править ]

Раннее понимание роли движения в геометрии было дано Альхазеном (965-1039). Его работа «Космос и его природа» [8] использует сравнения размеров мобильного тела для количественной оценки вакуума воображаемого пространства.

В 19 веке Феликс Кляйн стал сторонником теории групп как средства классификации геометрий по их «группам движений». Он предложил использовать группы симметрии в своей программе на Эрлангене , и это предложение было широко принято. Он отметил, что каждое евклидово сравнение является аффинным отображением , и каждое из них является проективным преобразованием ; поэтому группа проективностей содержит группу аффинных отображений, которая, в свою очередь, содержит группу евклидовых конгруэнций. Термин движение , короче трансформации, делает больший упор на прилагательные: проективный, аффинный, евклидов. Таким образом, контекст был расширен настолько, что «в топологии разрешенные движения - это непрерывные обратимые деформации, которые можно было бы назвать упругими движениями». [9]

Наука кинематика посвящена выражению физического движения в виде математического преобразования. Часто преобразование можно записать с помощью векторной алгебры и линейного отображения. Простым примером является поворот, записанный как умножение комплексного числа : где . Вращение в пространстве достигается за счет использования кватернионов , и преобразования Лоренца из пространства - времени путем использования бикватернионов . В начале 20 века были исследованы гиперкомплексные системы счисления. Позже их группы автоморфизмовпривели к исключительным группам, таким как G2 .

В 1890 - х годах были Логика сокращения примитивных представлений о синтетической геометрии к абсолютному минимуму. Джузеппе Пеано и Марио Пиери использовали выражение « движение» для сравнения пар точек. Алессандро Падоа в своем отчете на Международном философском конгрессе 1900 года воспевал сокращение примитивных понятий до простой точки и движения . Именно на этом конгрессе Бертран Рассел познакомился с континентальной логикой через Пеано. В своей книге « Основы математики»(1903) Рассел считал движение евклидовой изометрией, сохраняющей ориентацию . [10]

В 1914 году DMY Sommerville использовал идею геометрического движения, чтобы установить идею расстояния в гиперболической геометрии, когда он написал « Элементы неевклидовой геометрии» . [11] Он объясняет:

Под движением или смещением в общем смысле подразумевается не изменение положения отдельной точки или любой ограниченной фигуры, а смещение всего пространства или, если мы имеем дело только с двумя измерениями, всей плоскости. Движение - это преобразование, при котором каждая точка P превращается в другую точку P 'таким образом, что расстояния и углы не изменяются.

Аксиомы движения [ править ]

Ласло Редей в качестве аксиом движения приводит : [12]

  1. Любое движение - это взаимно однозначное отображение пространства R на себя, так что каждые три точки на прямой будут преобразованы в (три) точки на прямой.
  2. Тождественное отображение пространства R - это движение.
  3. Продукт двух движений - это движение.
  4. Обратное отображение движения - это движение.
  5. Если у нас есть две плоскости A, A ', две прямые g, g' и две точки P, P 'такие, что P находится на g, g находится на A, P' находится на g 'и g' находится на A ', тогда существуют отображение движения A в A ', g в g' и P в P '
  6. Существует плоскость A, прямая g и точка P такие, что P находится на g, а g находится на A, тогда существуют четыре движения, отображающие A, g и P на себя, соответственно, и не более двух из этих движений могут имеют каждую точку g как фиксированную точку, в то время как существует одна из них (т. е. тождество), для которой каждая точка A фиксирована.
  7. На прямой g существуют три точки A, B, P, такие, что P находится между A и B, и для каждой точки C (неравной P) между A и B существует точка D между C и P, для которой нет движения с фиксированной P. можно найти точку, которая отобразит C в точку, лежащую между D и P.

Из аксиом 2–4 следует, что движения образуют группу

Аксиома 5, что есть движение, которое отображает каждую линию на каждую линию

Примечания и ссылки [ править ]

  1. ^ Гюнтер Эвальд (1971) Геометрия: Введение , стр. 179, Бельмонт: Wadsworth ISBN  0-534-00034-7
  2. ^ MA Khamsi & WA Kirk (2001) Введение в метрические пространства и теоремы о неподвижных точках , стр. 15, John Wiley & Sons ISBN 0-471-41825-0 
  3. ^ А.З. Петров (1969) Пространства Эйнштейна , стр. 60, Pergamon Press
  4. ^ Б.А. Дубровин, А.Т. Фоменко, С.П. Новиков (1992) Современная геометрия - методы и приложения , второе издание, стр. 24, Springer, ISBN 978-0-387-97663-1 
  5. ^ Д. В. Alekseevskij, Е. Б. Винберг,С. Solodonikov (1993) Геометрия II , стр. 9, Springer, ISBN 0-387-52000-7 
  6. ^ Graciela С. Бирман и Катсуй Номидз (1984) "Тригонометрия в лоренцевской геометрии", American Mathematical Monthly 91 (9): 543-9, группа движений: р 545
  7. ^ Сергей Новиков и И.А. Таймов (2006) Современные геометрические структуры и поля , переводчик Дмитрия Чибисова, страница 45, Американское математическое общество ISBN 0-8218-3929-2 
  8. ^ Ибн Al_Haitham: Труды празднования Годовщины 1000 , редактор Хаким Мохаммед Саид, стр 224-7, Хамдард Национальный фонд, Карачи The Times Press
  9. ^ Ари Бен-Менахем (2009) Историческая энциклопедия естественных и математических наук , т. I, стр. 1789 г.
  10. ^ Б. Рассел (1903) Принципы математики, стр. 418. См. Также стр. 406, 436.
  11. ^ DMT Sommerville (1914) Элементы неевклидовой геометрии , страница 179, ссылка изИсторической математической коллекции Мичиганского университета
  12. ^ Редеи, L (1968). Основание евклидовой и неевклидовой геометрий по Ф. Клейну . Нью-Йорк: Пергамон. С. 3–4.
  • Тристан Нидхэм (1997) Визуальный комплексный анализ , евклидово движение, стр. 34, прямое движение, стр. 36, противоположное движение, стр. 36, сферическое движение, стр. 279, гиперболическое движение, стр. 306, Clarendon Press , ISBN 0-19-853447-7 . 
  • Майлз Рид и Балаш Сендрёи (2005) Геометрия и топология , Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , MR 2194744 . 

Внешние ссылки [ править ]

  • Движение. Егоров (составитель), Математическая энциклопедия .
  • Группа движений. Егоров (составитель), Математическая энциклопедия .