Режимы схождения

В математике есть много смыслов, в которых последовательность или ряд считаются сходящимися. В этой статье описываются различные режимы (смыслы или виды) конвергенции в тех условиях, в которых они определены. Список режимов сходимости см. В разделе Режимы сходимости (аннотированный указатель)

Обратите внимание, что каждый из следующих объектов является частным случаем предшествующих ему типов: множества , топологические пространства , равномерные пространства , TAG (топологические абелевы группы), нормированные пространства , евклидовы пространства и действительные / комплексные числа. Также обратите внимание, что любое метрическое пространство является однородным пространством.

Элементы топологического пространства

Сходимость можно определить в терминах последовательностей в пространствах с первым счетом . Сети - это обобщение последовательностей, которые полезны в пространствах, которые не являются первыми счетными. Фильтры еще больше обобщают концепцию сходимости.

В метрических пространствах можно определить последовательности Коши . Сети и фильтры Коши являются обобщениями на однородные пространства . В более общем смысле пространства Коши - это пространства, в которых могут быть определены фильтры Коши. Сходимость подразумевает «сходимость по Коши», а сходимость по Коши вместе с существованием сходящейся подпоследовательности влечет сходимость. Понятие полноты метрических пространств и его обобщений определяется в терминах последовательностей Коши.

Серии элементов в топологической абелевой группе

В топологической абелевой группе сходимость ряда определяется как сходимость последовательности частичных сумм. Важным понятием при рассмотрении рядов является безусловная сходимость , гарантирующая, что предел ряда инвариантен относительно перестановок слагаемых.

В нормированном векторном пространстве абсолютную сходимость можно определить как сходимость ряда норм ( ). Абсолютная сходимость подразумевает сходимость по Коши последовательности частичных сумм (согласно неравенству треугольника), что, в свою очередь, подразумевает абсолютную сходимость некоторой группировки (не переупорядочение). Последовательность частичных сумм, полученных группировкой, является подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда. Нормированная сходимость абсолютно сходящихся рядов является эквивалентным условием для того, чтобы линейное нормированное пространство было банаховым (т. Е. Полным).${\ Displaystyle \ Sigma | b_ {k} |}$

Абсолютная сходимость и сходимость вместе подразумевают безусловную сходимость, но безусловная сходимость не подразумевает абсолютной сходимости в целом, даже если пространство банахово, хотя импликация верна в .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Сходимость последовательности функций на топологическом пространстве.

Самый основной тип сходимости для последовательности функций (в частности, он не предполагает какой-либо топологической структуры на области определения функций) - это поточечная сходимость . Он определяется как сходимость последовательности значений функций в каждой точке. Если функции принимают свои значения в однородном пространстве, то можно определить поточечную сходимость по Коши, равномерную сходимость и равномерную сходимость по Коши последовательности.

Поточечная сходимость подразумевает поточечную сходимость по Коши, и обратное верно, если пространство, в котором функции принимают свои значения, полно. Равномерная сходимость подразумевает поточечную сходимость и равномерную сходимость по Коши. Равномерная сходимость Коши и поточечная сходимость подпоследовательности влекут за собой равномерную сходимость последовательности, а если кообласть полная, то равномерная сходимость Коши влечет равномерную сходимость.

Если область определения функций является топологическим пространством, может быть определена локальная равномерная сходимость (т. Е. Равномерная сходимость в окрестности каждой точки) и компактная (равномерная) сходимость (т. Е. Равномерная сходимость на всех компактных подмножествах ). Обратите внимание, что «компактная сходимость» всегда означает «компактная равномерная сходимость», поскольку «компактная поточечная сходимость» будет означать то же самое, что и «поточечная сходимость» (точки всегда компактны).

Равномерная сходимость подразумевает как локальную равномерную сходимость, так и компактную сходимость, поскольку оба понятия являются локальными, а равномерная сходимость является глобальной. Если X является локально компактным (даже в самом слабом смысле: каждая точка имеет компактную окрестность), то локальная равномерная сходимость эквивалентна компактную (однородная) сходимость. Грубо говоря, это потому, что «местный» и «компактный» означают одно и то же.

Серии функций на топологической абелевой группе

Поточечная и равномерная сходимость рядов функций определяется в терминах сходимости последовательности частичных сумм.

Для функций, принимающих значения в линейном нормированном пространстве , абсолютная сходимость означает сходимость ряда положительных действительных функций . «Поточечная абсолютная сходимость» - это просто поточечная сходимость .${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$

Нормальная сходимость - это сходимость ряда неотрицательных действительных чисел, полученная путем взятия равномерной (т.е. sup) нормы каждой функции в ряду (равномерная сходимость ). В банаховых пространствах поточечная абсолютная сходимость влечет поточечную сходимость, а нормальная сходимость влечет равномерную сходимость.${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$

Для функций, определенных в топологическом пространстве, можно определить (как и выше) локальную равномерную сходимость и компактную (равномерную) сходимость в терминах частных сумм ряда. Если, кроме того, функции принимают значения в линейном нормированном пространстве, то можно определить локальную нормальную сходимость (локальную, равномерную, абсолютную сходимость) и компактную нормальную сходимость (абсолютную сходимость на компактах ).

Нормальная сходимость подразумевает как локальную нормальную сходимость, так и компактную нормальную сходимость. А если область локально компактна (даже в самом слабом смысле), то из локальной нормальной сходимости следует компактная нормальная сходимость.

Функции, определенные в пространстве с мерой

Если рассматривать последовательности измеримых функций , то возникают несколько способов сходимости, которые зависят от теоретико-меры, а не только от топологических свойств. Это включает поточечную сходимость почти всюду, сходимость по p- среднему и сходимость по мере. Они представляют особый интерес в теории вероятностей .

Смотрите также

• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Предел последовательности
• Сеть (математика)
• Фильтр (математика)
• Сходимость случайных величин