Число Лиувилля

В теории чисел число Лиувилля - это действительное число x, обладающее тем свойством, что для любого натурального числа n существует бесконечно много пар целых чисел ( p, q ) с q > 1, таких что

${\ displaystyle 0 <\ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {n}}}.}$

Числа Лиувилля «почти рациональны» и поэтому могут быть «довольно точно» аппроксимированы последовательностями рациональных чисел. Это в точности те трансцендентные числа, которые можно более точно аппроксимировать рациональными числами, чем любое алгебраическое иррациональное число. В 1844 году Джозеф Лиувилль показал, что все числа Лиувилля трансцендентны, тем самым впервые установив существование трансцендентных чисел. ^{[ необходима цитата ]}

π и e не являются числами Лиувилля. ^[1]

Существование чисел Лиувилля (константа Лиувилля) [ править ]

Здесь мы показываем, что числа Лиувилля существуют, демонстрируя конструкцию, которая производит такие числа.

Для любого целого числа b ≥ 2 и любой последовательности целых чисел ( a ₁ , a ₂ ,…,) такой, что a _k  ∈ {0, 1, 2,…,  b  - 1} для всех k  ∈ {1, 2, 3, ...} и существует бесконечное число к с в _к ≠ 0, определит число

${\ displaystyle x = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k}} {b ^ {k!}}}}$

В частном случае, когда b  = 10 и a _k  = 1, для всех k , результирующее число x называется постоянной Лиувилля:

L = 0. 11 000 1 00000000000000000 1 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 1 ...

Из определения x следует, что его базовым b- представлением является

${\ displaystyle x = \ left (0.a_ {1} a_ {2} 000a_ {3} 00000000000000000a_ {4} 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_ {5} \ ldots \ right) _ {b} \;}$

где n- й член находится в ( n !) -м десятичном разряде.

Поскольку это представление base- b не повторяется, x не может быть рациональным. Следовательно, для любого рационального числа p / q | x  -  p / q  | > 0.

Теперь для любого целого n ≥ 1 определим q _n и p _n следующим образом:

${\ displaystyle q_ {n} = b ^ {n!} \,; \ quad p_ {n} = q_ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {a_ {k}} { b ^ {k!}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {a_ {k}} {b ^ {n! -k!}} \ ;.}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|x-{\frac {q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}{q_{n}}}\right|=\left|x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+...={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+...={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{{q_{n}}^{n}}}\end{aligned}}}$

Следовательно, мы заключаем, что любой такой x является числом Лиувилля.

Примечания к доказательству [ править ]

1. Неравенство следует из того, что существует k , a _k  ∈ {0, 1, 2,…, b − 1}. Следовательно, самое большее, a _k  = b-1. Наибольшая возможная сумма была бы получена, если бы последовательность целых чисел ( a ₁ , a ₂ ,…) была (b-1, b-1, ...), где a _k  = b-1, для всех k. таким образом, будет меньше или равна этой наибольшей возможной сумме.${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$
2. Сильное неравенство следует из нашей мотивации исключить ряд путем сведения его к ряду, формула которого нам известна. В доказательстве до сих пор цель введения неравенства в 1. исходит из интуиции, что ( формула геометрического ряда ); следовательно, если мы сможем найти неравенство из того, что вводит ряд с (b-1) в числителе, и если мы сможем работать над дальнейшим сокращением члена знаменателя до , а также смещением индексов ряда с 0 на , тогда мы будем уметь исключить как рядовые, так и (b-1) члены, приближая нас к части формы , что и является конечной целью доказательства. Мы усиливаем эту мотивацию здесь, выбирая сейчас из суммы${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b}{b-1}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$${\displaystyle b^{k!}}$${\displaystyle b^{k}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\frac {1}{b^{(exponent)*n}}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$частичная сумма. Заметим, что для любого члена в , поскольку b ≥ 2, то для всех k (кроме случая, когда n = 1). Следовательно, (поскольку, даже если n = 1, все последующие члены будут меньше). Чтобы управлять индексами так, чтобы k начиналось с 0, мы выбираем частичную сумму изнутри (также меньшую, чем общее значение, поскольку это частичная сумма из ряда, все члены которого положительны). Мы выберем частичную сумму, образованную, начиная с k = (n + 1)! что следует из нашей мотивации написать новую серию с k = 0, а именно заметив это .${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$${\displaystyle {\frac {b-1}{b^{k!}}}<{\frac {b-1}{b^{k}}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}}$${\displaystyle b^{(n+1)!}=b^{(n+1)!}b^{0}}$
3. В качестве последнего неравенства мы выбрали именно это неравенство (верно, потому что b ≥ 2, где равенство следует тогда и только тогда, когда n = 1), потому что мы хотим манипулировать чем-то в форме . Это конкретное неравенство позволяет нам исключить (n + 1)! и числитель, используя свойство (n + 1)! - п! = (n!) n, таким образом придавая знаменателю идеальную форму для замены .${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}}$${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{b^{(exponent)*n}}}}$${\displaystyle q_{n}=b^{n!}}$

Иррациональность [ править ]

Здесь мы покажем, что число x  =  c / d , где c и d - целые числа и d  > 0, не может удовлетворять неравенствам, определяющим число Лиувилля. Поскольку каждое рациональное число может быть представлено как такое c / d , мы докажем, что никакое число Лиувилля не может быть рациональным .

Более конкретно, мы показываем, что для любого положительного целого числа n, достаточно большого, чтобы 2 ^{n  - 1}  >  d  > 0 (то есть для любого целого числа n  > 1 + log ₂ ( d  )), не существует пары целых чисел ( p ,  q  ), которая одновременно удовлетворяет двум неравенствам

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}\,.}$

Из этого следует заявленный вывод.

Пусть p и q - любые целые числа с q  > 1. Тогда имеем

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|cq-dp|}{dq}}}$

Если | cq  -  dp  | = 0, мы имели бы

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|cq-dp|}{dq}}=0\,,}$

это означает, что такая пара целых чисел ( p ,  q  ) нарушила бы первое неравенство в определении числа Лиувилля, независимо от любого выбора n .

Если же, с другой стороны, | cq  -  dp  | > 0, то, поскольку cq  -  dp - целое число, можно утверждать более точное неравенство | cq  -  dp  | ≥ 1. Отсюда следует, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|cq-dp|}{dq}}\geq {\frac {1}{dq}}}$

Теперь для любого целого n  > 1 + log ₂ ( d  ) последнее неравенство выше влечет

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,.}$

Следовательно, в случае | cq  -  dp  | > 0 такая пара целых чисел ( p ,  q  ) нарушила бы второе неравенство в определении числа Лиувилля для некоторого натурального числа n .

Мы заключаем, что не существует пары целых чисел ( p ,  q  ) с q  > 1, которая квалифицировала бы такое x  =  c / d как число Лиувилля.

Следовательно, число Лиувилля, если оно существует, не может быть рациональным.

(Раздел о постоянной Лиувилля доказывает, что числа Лиувилля существуют, показывая конструкцию единицы. Из доказательства, приведенного в этом разделе, следует, что это число должно быть иррациональным .)

Бессчетность [ править ]

Рассмотрим, например, число

3,1400010000000000000000050000 ....

3,14 (3 нуля) 1 (17 нулей) 5 (95 нулей) 9 (599 нулей) 2 (4319 нулей) 6 ...

где цифры равны нулю, кроме позиций n ! где цифра равна n- й цифре, следующей за десятичной точкой в ​​десятичном разложении  π .

Как показано в разделе о существовании чисел Лиувилля , это число, как и любое другое десятичное число без конца с аналогичным расположением ненулевых цифр, удовлетворяет определению числа Лиувилля. Поскольку множество всех последовательностей ненулевых цифр имеет мощность континуума , то же самое происходит с множеством всех чисел Лиувилля.

Более того, числа Лиувилля образуют плотное подмножество множества действительных чисел.

Числа Лиувилля и меры [ править ]

С точки зрения теории меры множество всех чисел Лиувилля L мало. Точнее, его мера Лебега λ (L) равна нулю. Приведенное доказательство следует некоторым идеям Джона К. Окстоби . ^{[2] : 8}

Для натуральных чисел n > 2 и q ≥ 2 установите:

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

у нас есть

${\displaystyle L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

Заметим, что для каждого натурального числа n ≥ 2 и m ≥ 1 мы также имеем

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

С

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

и n > 2 имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{aligned}}}$

Сейчас же

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

и из этого следует , что для каждого натурального т , L ∩ (- м , м ) имеет нулевую меру Лебега. Следовательно, так имеет L .

Напротив, мера Лебега множества всех реальных трансцендентных чисел бесконечна (так как набор алгебраических чисел является нулевым множеством ).

Структура множества чисел Лиувилля [ править ]

Для каждого положительного целого числа n положим

${\displaystyle U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left\{x\in \mathbf {R} :0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{q}}\right\}}$

Таким образом, множество всех чисел Лиувилля можно записать как

${\displaystyle L=\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}=\bigcap \limits _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\bigcup \limits _{q\geqslant 2}\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\left(\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{q}}\right\}\right).}$

Каждый U _n - открытое множество ; поскольку его закрытие содержит все рациональные числа ( из каждого выколотого интервала), оно также является плотным подмножеством вещественной прямой. Так как пересечение счетного числа таких открытых плотных множеств, L является comeagre , то есть, это плотная G _{& delta} ; множество.${\displaystyle \displaystyle p/q}$

Мера иррациональности [ править ]

Мера иррациональности иувилль Рот ( Иррациональность показатель, приближение показатель, или постоянная иувилль Рот ) из вещественного числа х является мерой того , насколько «тесно» это может быть аппроксимировано рациональными числами. Обобщая определение чисел Лиувилля, вместо того, чтобы допускать любое n в степени q , мы находим максимально возможное значение для μ , которому удовлетворяет бесконечное число пар целых чисел ( p , q ) с q > 0. Это максимальное значение из ц определяется как мера иррациональности х . ^[3]${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$^{: 246} Для любого значения μ, меньшего этой верхней границы, бесконечный набор всех рациональных чисел p / q, удовлетворяющих вышеуказанному неравенству, дает приближение к x . Наоборот, если μ больше верхней границы, то существует не более конечного числа ( p , q ) с q > 0, удовлетворяющих неравенству; таким образом, обратное неравенство выполняется для всех больших значений q . Другими словами, учитывая меру иррациональности μ действительного числа x , всякий раз, когда рациональное приближение x  ≅  p / q, p , q  ∈  N дает n  + 1 точную десятичную дробь, имеем

${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}\geq \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}}$

для любого ε> 0, кроме не более чем конечного числа «счастливых» пар ( p , q ).

Практически все числа имеют показатель иррациональности, равный 2. ^{[3] : 246}

Ниже приводится таблица известных верхних и нижних оценок мер иррациональности некоторых чисел.

Число ${\displaystyle x}$	Мера иррациональности ${\displaystyle \mu (x)}$		Простая непрерывная дробь ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},...]}$	Примечания
	Нижняя граница	Верхняя граница
Рациональное число где и${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle q\neq 0}$	1		Конечная цепная дробь .	Каждое рациональное число имеет меру иррациональности ровно 1.${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ Примеры включают 1, 2 и 0,5
Алгебраическое число ${\displaystyle a}$	2		Бесконечная цепная дробь. Периодически, если квадратично иррационально .	По теореме Туэ-Зигеля-Рота мера иррациональности любого алгебраического числа равна точно 2. Примеры включают квадратные корни, такие как и, и золотое сечение .${\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \varphi }$
${\displaystyle e^{2/k},k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2		Бесконечная цепная дробь.	Если элементы разложения иррационального числа в непрерывную дробь удовлетворяют для положительных и , то мера иррациональности .${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{n}<cn+d}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mu (x)=2}$ Примеры включают или где непрерывные дроби ведут себя предсказуемо:${\displaystyle e}$${\displaystyle I_{0}(1)/I_{1}(1)}$ ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,...]}$ и ${\displaystyle I_{0}(1)/I_{1}(1)=[2;4,6,8,10,12,14,16,18,20,22...]}$
${\displaystyle \tanh \left({\frac {1}{k}}\right),k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2
${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{k}}\right),k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2
Константы Тротта в любой базе простых цепных дробей [4]${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle b}$	1	2	Неизвестно, являются ли разложения констант Тротта в непрерывную дробь конечными или бесконечными.	Константы Тротта - это как раз те константы, десятичное разложение которых равно разложению их непрерывной дроби. В базе 10 мы имеем: .${\displaystyle T_{1}=0.10841...=[0;1,0,8,4,1,...]}$ Поскольку в любой системе счисления количество цифр равно самому себе, ни один член в простой непрерывной дроби не может превышать его, и поэтому члены ограничены. Это приводит к показателю иррациональности не более 2.${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$
${\displaystyle h_{q}(1)}$[4] [5]	2	2.49846 ...	Бесконечная цепная дробь.	${\displaystyle q\in \{\pm 2,\pm 3,\pm 4,...\}}$, является -гармоническим рядом.${\displaystyle h_{q}(1)}$${\displaystyle q}$
${\displaystyle {\text{ln}}_{q}(2)}$[4] [6]	2	2,93832 ...		${\displaystyle q\in \left\{\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {1}{4}},...\right\}}$, является -логарифм.${\displaystyle \ln _{q}(x)}$${\displaystyle q}$
${\displaystyle \ln _{q}(1-z)}$[4] [6]	2	3,76338 ...		${\displaystyle q\in \left\{\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {1}{4}},...\right\}}$, ${\displaystyle 0<|z|\leq 1}$
${\displaystyle \ln(2)}$[4] [7]	2	3,57455 ...	${\displaystyle [0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,...]}$
${\displaystyle \ln(3)}$[4] [8]	2	5.11620 ...	${\displaystyle [1;10,7,9,2,2,1,3,1,1,32,...]}$
${\displaystyle \zeta (3)}$[4]	2	5.51389 ...	${\displaystyle [1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,...]}$
${\displaystyle \pi ^{2}}$и [4] [9]${\displaystyle \zeta (2)}$	2	5,09541 ...	${\displaystyle [9;1,6,1,2,47,1,8,1,1,2,...]}$ и ${\displaystyle [1;1,1,1,4,2,4,7,1,4,2,...]}$	${\displaystyle \pi ^{2}}$и линейно зависят от .${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \pi }$[4] [10]	2	7.10320 ...	${\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,...]}$	Было доказано, что если ряд (где n в радианах) сходится, то мера иррациональности не превосходит 2,5. [11] [12]${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}}$${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle \arctan(1/3)}$[13]	2	6.09675 ...	${\displaystyle [0;3,9,3,1,5,1,6,3,1,2,...]}$	Формы ${\displaystyle \arctan(1/k)}$
${\displaystyle \arctan(1/5)}$[14]	2	4,788 ...	${\displaystyle [0;5,15,6,3,5,3,4,2,65,1,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/6)}$[14]	2	6,24 ...	${\displaystyle [0;6,18,7,1,1,4,5,62,2,1,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/7)}$[14]	2	4.076 ...	${\displaystyle [0;7,21,8,1,3,1,8,2,6,1,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/10)}$[14]	2	4.595 ...	${\displaystyle [0;10,30,12,1,1,7,3,2,1,3,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/4)}$[14]	2	5,793 ...	${\displaystyle [0;4,12,5,12,1,1,1,3,2,1,...]}$	Формы ${\displaystyle \arctan(1/2^{k})}$
${\displaystyle \arctan(1/8)}$[14]	2	3,673 ...	${\displaystyle [0;8,24,10,24,1,77,1,1,5,1,...]}$
${\displaystyle \arctan(1/16)}$[14]	2	3,068 ...	${\displaystyle [0;16,48,20,49,1,4,1,3,1,1,...]}$
${\displaystyle \pi /{\sqrt {3}}}$[15] [16]	2	4.60105 ...	${\displaystyle [1;1,4,2,1,2,3,7,3,3,30,...]}$	Формы ${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}\arctan \left({\frac {\sqrt {2k-1}}{k-1}}\right)}$
${\displaystyle {\sqrt {7}}\arctan({{\sqrt {7}}/3})}$[16]	2	3.94704 ...	${\displaystyle [1;1,10,2,1,1,2,3,6,1,3,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {11}}\arctan({{\sqrt {11}}/5})}$[16]	2	3,76069 ...	${\displaystyle [1;1,16,2,1,1,3,1,6,1,24,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {15}}\arctan({{\sqrt {15}}/7})}$[16]	2	3.66666 ...	${\displaystyle [1;1,22,2,1,1,5,2,3,10,2,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {19}}\arctan({{\sqrt {19}}/9})}$[16]	2	3,60809 ...	${\displaystyle [1;1,28,2,1,1,6,1,72,2,1,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {23}}\arctan({{\sqrt {23}}/11})}$[16]	2	3,56730 ...	${\displaystyle [1;1,34,2,1,1,8,1,1,5,2,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {7}}\ln \left({\frac {4+{\sqrt {7}}}{3}}\right)}$[16]	2	6,64610 ...	${\displaystyle [2;9,1,1,2,2,8,2,1,3,2,...]}$	Формы ${\displaystyle {\sqrt {2k+1}}\ln \left({\frac {{\sqrt {2k+1}}+1}{{\sqrt {2k+1}}-1}}\right)}$
${\displaystyle {\sqrt {11}}\ln \left({\frac {6+{\sqrt {11}}}{5}}\right)}$[16]	2	5,82337 ...	${\displaystyle [2;15,1,1,2,3,1,2,10,1,4,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {13}}\ln \left({\frac {7+{\sqrt {13}}}{6}}\right)}$[16]	2	3,51433 ...	${\displaystyle [2;18,1,1,2,4,2,5,33,6,2,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {15}}\ln \left({\frac {8+{\sqrt {15}}}{7}}\right)}$[16]	2	5,45248 ...	${\displaystyle [2;21,1,1,2,5,4,3,2,1,1,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {17}}\ln \left({\frac {9+{\sqrt {17}}}{8}}\right)}$[16]	2	3,47834 ...	${\displaystyle [2;24,1,1,2,6,92,3,3,1,16,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {19}}\ln \left({\frac {10+{\sqrt {19}}}{9}}\right)}$[16]	2	5,23162 ...	${\displaystyle [2;27,1,1,2,6,1,3,1,2,1,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {21}}\ln \left({\frac {11+{\sqrt {21}}}{10}}\right)}$[16]	2	3,45356 ...	${\displaystyle [2;30,1,1,2,7,1,1,3,4,63,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {23}}\ln \left({\frac {12+{\sqrt {23}}}{11}}\right)}$[16]	2	5,08120 ...	${\displaystyle [2;33,1,1,2,8,2,2,1,9,4,...]}$
${\displaystyle 5\ln(3/2)}$[16]	2	3,43506 ...	${\displaystyle [2;36,1,1,2,9,8,5,1,38,1,...]}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\pm \ln(3)}$[14]		4.5586 ...	${\displaystyle [2;1,10,2,2,1,1,17,1,4,1,...]}$ и ${\displaystyle [0;1,2,1,1,22,14,3,1,1,1,...]}$
${\displaystyle {\sqrt {3}}\ln(2+{\sqrt {3}})\pm {\frac {\pi }{\sqrt {3}}}}$[14]		6,1382 ...	${\displaystyle [4;10,1,1,5,7,2,2,1,31,2,...]}$ и ${\displaystyle [0;2,7,7,1,1,1,3,9,9,1,...]}$
${\displaystyle \ln(5)+{\frac {\pi }{2}}}$[14]		59.976 ...	${\displaystyle [3;5,1,1,4,1,2,19,1,3,...]}$
${\displaystyle T_{2}(1/b),b\geq 2}$[17]	2	4	Бесконечная цепная дробь.	${\displaystyle T_{2}(1/b):=\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}b^{n-1}}$где - -й член последовательности Туэ-Морса .${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle n}$
Константы Шамперноуна в базе [18]${\displaystyle C_{b}}$${\displaystyle b\geq 2}$	${\displaystyle b}$		Бесконечная цепная дробь.	Примеры включают ${\displaystyle C_{10}=0.1234567891...=[0;8,9,1,149083,1,...]}$
Числа Лиувилля ${\displaystyle L}$	${\displaystyle \infty }$		Бесконечная цепная дробь, поведение которой не предсказуемо.	Числа Лиувилля - это как раз те числа, которые имеют бесконечную меру иррациональности. [3] : 248

База иррациональности [ править ]

База иррациональности - это более слабая мера иррациональности, введенная Дж. Сондоу ^[19], и рассматривается как мера иррациональности для чисел Лиувилля. Это определяется следующим образом:

Позвольте быть иррациональным числом. Если существует действительное число со свойством, что для любого , существует положительное целое число такое, что${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta \geq 1}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle q(\varepsilon )}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{(\beta +\varepsilon )^{q}}}{\text{ for all integers }}p,q{\text{ with }}q\geq q(\varepsilon )}$,

тогда называется базой иррациональности и представляется как${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta (\alpha )}$

Если такового не существует, то называется супер-числом Лиувилля .${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

Пример : серия - это супер-число Лиувилля , а серия - это число Лиувилля с основанием 2 иррациональности ( представляет тетрацию ).${\displaystyle \varepsilon _{2e}=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{4^{2^{1}}}}+{\frac {1}{8^{4^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{32^{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}}+\ldots }$${\displaystyle \tau _{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{^{n}2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2^{2}}}}+{\frac {1}{2^{2^{2^{2}}}}}+{\frac {1}{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}+\ldots }$${\displaystyle {^{b}a}}$

Числа Лиувилля и трансцендентность [ править ]

Установление того, что данное число является числом Лиувилля, дает полезный инструмент для доказательства трансцендентности данного числа. Однако не каждое трансцендентное число является числом Лиувилля. Члены разложения в непрерывную дробь каждого числа Лиувилля неограничены; используя счетный аргумент, можно затем показать, что должно быть несчетное количество трансцендентных чисел, не являющихся лиувиллевскими. Используя явное разложение числа e в цепную дробь , можно показать, что e является примером трансцендентного числа, не являющегося лиувиллевским. В 1953 году Малер доказал, что π - еще один такой пример. ^[20]

Доказательство начинается с установления свойства иррациональных алгебраических чисел . Это свойство по существу говорит о том, что иррациональные алгебраические числа не могут быть хорошо аппроксимированы рациональными числами, где условие «хорошо аппроксимации» становится более строгим для больших знаменателей. Число Лиувилля иррационально, но не обладает этим свойством, поэтому оно не может быть алгебраическим и должно быть трансцендентным. Следующая лемма обычно известна как теорема Лиувилля (о диофантовом приближении) , и несколько ее результатов известны как теорема Лиувилля .

Ниже мы покажем, что никакое число Лиувилля не может быть алгебраическим.

Лемма: если α - иррациональное число, которое является корнем многочлена f степени n > 0 с целыми коэффициентами, то существует действительное число A > 0 такое, что для всех целых чисел p , q , q > 0,

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Доказательство леммы: пусть M максимальное значение | f ′ ( x ) | ( абсолютное значение из производной от F ) в течение интервала [ & alpha ;  - 1, α  + 1]. Пусть α ₁ , α ₂ , ..., α _m - различные корни f, отличные от α . Выберите какое-нибудь значение A > 0, удовлетворяющее

${\displaystyle A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left|\alpha -\alpha _{1}\right|,\left|\alpha -\alpha _{2}\right|,\ldots ,\left|\alpha -\alpha _{m}\right|\right)}$

Предположим теперь, что существуют целые числа p , q, противоречащие лемме. потом

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},\left|\alpha -\alpha _{1}\right|,\left|\alpha -\alpha _{2}\right|,\ldots ,\left|\alpha -\alpha _{m}\right|\right)}$

Тогда p / q находится в интервале [ α - 1, α + 1]; и p / q не принадлежит { α ₁ , α ₂ , ..., α _m }, поэтому p / q не является корнем f ; и нет корня f между α и p / q .

По теореме о среднем значении существует x ₀ между p / q и α такое, что

${\displaystyle f(\alpha )-f({\tfrac {p}{q}})=(\alpha -{\frac {p}{q}})\cdot f'(x_{0})}$

Поскольку α является корнем f, а p / q нет, мы видим, что | f ′ ( x ₀ ) | > 0, и мы можем переставить:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f(\alpha )-f({\tfrac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}=\left|{\frac {f({\tfrac {p}{q}})}{f'(x_{0})}}\right|}$

Теперь f имеет вид c _i x ^i, где каждое c _i является целым числом; чтобы мы могли выразить | f ( p / q ) | в качестве${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}}$

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right|={\frac {1}{q^{n}}}\left|\sum _{i=0}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}}$

последнее неравенство выполняется, потому что p / q не является корнем f, а c _i - целые числа.

Таким образом, мы имеем | f ( p / q ) | ≥ 1 / q ⁿ . Поскольку | f ′ ( x ₀ ) | ≤ M по определению M и 1 / M > A по определению A , имеем

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {f({\tfrac {p}{q}})}{f'(x_{0})}}\right|\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geq \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|}$

что является противоречием; следовательно, таких p , q не существует; Доказательство леммы.

Доказательство утверждения: как следствие этой леммы пусть x - число Лиувилля; как отмечено в тексте статьи, x является иррациональным. Если x алгебраический, то по лемме существуют некоторое целое число n и некоторое положительное вещественное число A такие, что для всех p , q

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Пусть г натуральное число такое , что 1 / (2 ^г ) ≤ . Если мы положим m = r + n и поскольку x - число Лиувилля, то существуют такие целые числа a , b, где b > 1, что

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}}$

что противоречит лемме. Следовательно, если число Лиувилля существует, оно не может быть алгебраическим и, следовательно, должно быть трансцендентным.

См. Также [ править ]

• Число Брьюно
• Диофантово приближение

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Начало трансцендентных чисел